Określmy, jakiego znaku współczynnik stałby przy najwyższej potędze x, gdyby wykonać wszystkie działania. Będzie to potrzebne do zrobienia wykresu pomocniczego.
1) pierwszy czynnik to [tex]x[/tex], współczynnik to 1, więc znak +
2) drugi czynnik to [tex](2x-1)^2[/tex], współczynnik to [tex]2^2=4[/tex], więc znak +
3) trzeci czynnik to [tex](3-x)^4[/tex], współczynnik to [tex](-1)^4=1[/tex], więc znak +
4) czwarty czynnik to [tex](2x-3)[/tex], współczynnik to 2, więc znak +
5) piąty czynnik to [tex](x+5)^5[/tex], współczynnik to [tex]1^5=1[/tex], więc znak +
Skoro mamy tylko plusy, więc przy najwyższej potędze x stałby współczynnik dodatni. Dlatego szkicowanie wykresu zaczynamy od prawej strony od góry.
Szkicując wykres pomocniczy, pamiętajmy, że w przypadku, gdy dane miejsce zerowe pochodzi z czynnika w potędze nieparzystej, to przechodzimy na drugą stronę osi, a gdy dane miejsce zerowe pochodzi z czynnika w potędze parzystej, to odbijamy na drugą stronę osi.
Odczytujemy rozwiązanie, czyli iksy nad osią lub na osi, bo nierówność to ≥.
Odpowiedź:
[tex]x\in\left < -5,0\right > \cup\left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\left < 1\frac{1}{2},+\infty\right)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x(2x-1)^2(3-x)^4(2x-3)(x+5)^5\geq 0[/tex]
Znajdźmy pierwiastki wielomianu z lewej stronie nierówności.
[tex]x=0\ \vee\ 2x-1=0\ \vee\ 3-x=0\ \vee\ 2x-3=0\ \vee\ x+5=0\\x=0\ \vee\ 2x=1\ |:2\ \vee\ -x=-3\ |:(-1)\ \vee\ 2x=3\ |:2\ \vee\ x=-5\\x=0\ \vee\ x=\frac{1}{2}\ \vee\ x=3\ \vee\ x=1\frac{1}{2}\ \vee\ x=-5\\x_0\in\{-5,0,\frac{1}{2},1\frac{1}{2},3\}[/tex]
Określmy, jakiego znaku współczynnik stałby przy najwyższej potędze x, gdyby wykonać wszystkie działania. Będzie to potrzebne do zrobienia wykresu pomocniczego.
1) pierwszy czynnik to [tex]x[/tex], współczynnik to 1, więc znak +
2) drugi czynnik to [tex](2x-1)^2[/tex], współczynnik to [tex]2^2=4[/tex], więc znak +
3) trzeci czynnik to [tex](3-x)^4[/tex], współczynnik to [tex](-1)^4=1[/tex], więc znak +
4) czwarty czynnik to [tex](2x-3)[/tex], współczynnik to 2, więc znak +
5) piąty czynnik to [tex](x+5)^5[/tex], współczynnik to [tex]1^5=1[/tex], więc znak +
Skoro mamy tylko plusy, więc przy najwyższej potędze x stałby współczynnik dodatni. Dlatego szkicowanie wykresu zaczynamy od prawej strony od góry.
Szkicując wykres pomocniczy, pamiętajmy, że w przypadku, gdy dane miejsce zerowe pochodzi z czynnika w potędze nieparzystej, to przechodzimy na drugą stronę osi, a gdy dane miejsce zerowe pochodzi z czynnika w potędze parzystej, to odbijamy na drugą stronę osi.
Odczytujemy rozwiązanie, czyli iksy nad osią lub na osi, bo nierówność to ≥.
[tex]x\in\left < -5,0\right > \cup\left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\left < 1\frac{1}{2},+\infty\right)[/tex]