Question

Zadanie 5 c,d
wazne zeby bylo z obliczenimi

Answer 1

Równanie okręgu

[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]

gdzie:

• S = (a; b) - środek okręgu
• r - promień okręgu

Symetria osiowa

Jeżeli A' jest obrazem punktu A w symetrii względem pewnej prostej l, to odległość tych punktów od prostej l jest równa.

Jeżeli punkt P' jest obrazem punktu P=(x, y) względem:

• osi OX, to punkt P' ma współrzędne: P'=(x, -y)
• osi OY, to punkt P' ma współrzędne: P'=(-x, y)
• początku układu współrzędnych, to punkt P' ma współrzędne:
  P'=(-x, -y)

Rozwiązanie:

Jeżeli okrąg K' jest symetryczny do okręgu K względem osi OX, to środek okręgu K' jest symetryczny względem osi OX do środka okręgu K.

1. Wyznaczamy środek S okręgu K oraz kwadrat jego promienia.
2. Wyznaczamy współrzędne punktu S' będącego środkiem punktu K', symetrycznego do punktu S względem osi OX.
3. Zapisujemy równanie okręgu.
4. Sprawdzamy, czy punkt P=(-3, 2) należy do okręgu K' poprzez podstawienie jego współrzędnych tego punktu do równania okręgu K'.

a)

[tex]K: \; (x-1)^2+(y-1)^2=25\\\\S=(1; 1), \;\;r^2=25[/tex]

Wyznaczamy współrzędne punktu S':

[tex]S' = (1; -1)[/tex]

Zapisujemy równanie okręgu K':

[tex]\boxed{\bold{K':\;(x-1)^2+(y+1)^2=25}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt P należy do okręgu K':

[tex]\begin{array}{lll}(-3-1)^2+(2+1)^2=25\\\\(-4)^2+3^2=25\\\\16+9=25\\\\25=25\\\\L=P\end{array}[/tex]

Punkt P należy do okręgu K'.

b)

[tex]K: \; (x-2)^2+(y+2)^2=41\\\\S=(2; -2), \;\;r^2=41[/tex]

Wyznaczamy współrzędne punktu S':

[tex]S'=(2; 2)[/tex]

Zapisujemy równanie okręgu K':

[tex]\boxed{\bold{K':\;(x-2)^2+(y-2)^2=41}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt P należy do okręgu K':

[tex]\begin{array}{lll}(-3-2)^2+(2-2)^2=41\\\\(-5)^2+0^2=41\\\\25\neq 41\\\\L\neq P\end{array}[/tex]

Punkt P nie należy do okręgu K'.

c)

[tex]K: \; (x+3)^2+y^2=4\\\\S=(-3, 0),\;r^2=4[/tex]

Punkt S leży na osi OX, więc obraz tego punktu w symetrii względem osi OX to ten sam punkt.

[tex]S'=S=(-3, 0)[/tex]

Obrazem okręgu K w symetrii względen osi OX będzie ten sam okrąg:

[tex]\boxed{\bold{K'=K: (x+3)^2+y^2=4}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt P należy do okręgu K':

[tex]\begin{array}{lll}(-3+3)^2+2^2=4\\\\0^2+4=4\\\\4=4\\\\L=P\end{array}[/tex]

Punkt P należy do okręgu K'.

d)

[tex]K:\;(x+1)^2+(y-4)^2=40\\\\S=(-1, 4),\;r^2=40[/tex]

Wyznaczamy współrzędne punktu S':

[tex]S'=(-1; -4)[/tex]

Zapisujemy równanie okręgu K':

[tex]\boxed{\bold{K':\;(x+1)^2+(y+4)^2=40}}[/tex]

Sprawdzamy, czy punkt P należy do okręgu K':

[tex]\begin{array}{lll}(-3+1)^2+(2+4)^2=40\\\\(-2)^2+6^2=40\\\\4+36=40\\\\40=40\\\\L=P\end{array}[/tex]

Punkt P należy do okręgu K'.