Question

Zadanie 4 Uzasadnij, że czworokąt jest równoległobokiem: A(-1,-1) B(6,-3) C(3, 2) D(-4, 4)​

Answer 1

[tex]A(-1,-1)\qquad B(6,-3)\qquad C(3,2)\qquad D(-4,4)[/tex]

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Dlatego trzeba pokazać, że prosta AB jest równoległa do prostej CD, a prosta BC jest równoległa do prostej AD.

W tym celu wystarczy policzyć współczynniki kierunkowe prostych i zauważyć, że są sobie równe.

Policzmy współczynniki kierunkowe prostych.

[tex]a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3-(-1)}{6-(-1)}=\frac{-3+1}{6+1}=\frac{-2}{7}=-\frac{2}{7}\\\\a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{2-(-3)}{3-6}=\frac{2+3}{-3}=\frac{5}{-3}=-1\frac{2}{3}\\\\a_{CD}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{4-2}{-4-3}=\frac{2}{-7}=-\frac{2}{7}\\\\a_{AD}=\frac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\frac{4-(-1)}{-4-(-1)}=\frac{4+1}{-4+1}=\frac{5}{-3}=-1\frac{2}{3}[/tex]

Ponieważ zachodzi:

[tex]a_{AB}=a_{CD}\quad\text{oraz}\quad a_{BC}=a_{AD}[/tex]

więc prosta AB jest równoległa do prostej CD, a prosta BC jest równoległa do prostej AD, więc czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

To kończy dowód.