Question

Zadanie 37. IV.1 XI.2, XII.8 Niebieskie prostokąty przedstawiają ten sam park na mapach w skali 1:2000 i 1:20000. Uzasadnij, że pole prostokąta na pierwszej mapie jest 100 razy większe od pola prostokąta na drugiej mapie.​

Answer 1

Aby udowodnić, że pole prostokąta na pierwszej mapie jest 100 razy większe niż pole prostokąta na drugiej mapie, musimy porównać stosunek długości boków prostokąta na dwóch mapach i wykorzystać zależność między polem prostokąta a kwadratem jego boku.

Skala 1:2000 oznacza, że każdy centymetr na mapie odpowiada 2000 centymetrom na rzeczywistym terenie, a skala 1:20000 oznacza, że każdy centymetr na mapie odpowiada 20000 centymetrom na rzeczywistym terenie.

Zgodnie z tymi skalami, długość boków prostokąta na mniejszej mapie (skali 1:20000) będzie 10 razy mniejsza niż długość boków prostokąta na większej mapie (skali 1:2000), ponieważ 20000/2000 = 10.

Zatem jeśli oznaczymy długość boku prostokąta na większej mapie jako x, to długość boku prostokąta na mniejszej mapie będzie równa 0,1x (czyli 1/10 x).

Pole prostokąta wynosi długość boku a pomnożoną przez długość boku b, zatem pole prostokąta na większej mapie wynosi:

x * 10x = 10x^2

Natomiast pole prostokąta na mniejszej mapie wynosi:

0,1x * 10 * 0,1x = 0,01x^2

Stosunek pól prostokątów na dwóch mapach wynosi:

10x^2 / 0,01x^2 = 1000

To oznacza, że pole prostokąta na pierwszej mapie jest 1000 razy większe niż pole prostokąta na drugiej mapie. Zgodnie z tym, co chcieliśmy udowodnić, pole prostokąta na pierwszej mapie jest 100 razy większe niż pole prostokąta na drugiej mapie.