Question

Zadanie 3.2
Oblicz momenty bezwładności względem osi 01, O2, O3 układów kulek (o pomijal-
nych rozmiarach) umieszczonych w wierzchołkach trójkąta równobocznego.

Głównie mi zależy na wytłumaczeniu jak to się robi

Answer 1

Moment bezwładności jest tensorem, jednak w tym wypadku mamy sprecyzowaną oś obrotu, więc problem redukuje się do jednej tylko składowej.

Jeśli rozważamy układ dyskretny (w tym wypadku 3 masy) to jego moment bezwładności jest sumą momentów poszczególnych mas:

[tex]I=\sum_{i=1}^3{m_ir_i^2}[/tex]

r_i oznacza odległość masy i-tej od osi obrotu, zaś m_i=m, bo wszystkie masy są takie same;

a)

Oś jest prostopadła do płaszczyzny i przechodzi przez jeden z wierzchołków. Odległości mas to odpowiednio: a, a oraz 0

[tex]I=ma^2+ma^2+m\cdot0^2=2ma^2\\I=2\cdot10^{-3}kg\cdot4cm^2=8\cdot10^{-3}kg\,cm^2=8\cdot10^{-7}kg\,m^2[/tex]

b)

Oś przechodzi przez jeden z wierzchołków i jest równoległa do boku trójkąta.

Masy, które leżą w pozostałych dwóch wierzchołkach znajdują się w odległości równej wysokości trójkąta

[tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}\\I=2mh^2=\frac{2\cdot 3ma^2}{4}=\frac{3ma^2}{2}\\I=\frac{3\cdot10^{-3}kg\cdot4cm^2}{2}=6\cdot10^{-7}kg\,m^2[/tex]

c)

Oś jest prostopadła to płaszczyzny i przechodzi przez środek masy trójkąta.

Odległości wszystkich mas to 2/3 wysokości trójkąta

[tex]r=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt3}{3}\\I=3mr^2=\frac{3ma^2\cdot3}{9}=ma^2\\I=10^{-3}kg\cdot4cm^2=4\cdot10^{-7}kg\,m^2[/tex]

pozdrawiam