0 Zadanie 2.6 Kamień domina ma wymiary: a = 1,0 cm, b = 2,0 cm, c = 4,0 cm. Leżący na stole kamień obracamy wokół najkrótszej krawędzi a od pozycji I do pozycji II (ry- sunek). Oblicz długość łuku zakreślonego przez środek ciężko- ści kamienia podczas wykonywania obrotu od pozycji I do pozycji, w której ten środek znajduje się najwyżej. -
powinno wyjść 2,5 cm
powinno wyjść 2,5 cm
Odpowiedź:
Aby obliczyć długość łuku zakreślonego przez środek ciężkości kamienia, musimy najpierw znaleźć wysokość kamienia w pozycji, w której środek ciężkości znajduje się najwyżej.
Wzór na wysokość kamienia w pozycji, w której środek ciężkości znajduje się najwyżej, to:
h = √(a^2 + b^2 + c^2)
Podstawiając wartości z treści zadania:
h = √(1^2 + 2^2 + 4^2)
h = √(1 + 4 + 16)
h = √21
Teraz możemy obliczyć długość łuku zakreślonego przez środek ciężkości kamienia podczas wykonywania obrotu od pozycji I do pozycji, w której ten środek znajduje się najwyżej. Długość łuku można obliczyć za pomocą wzoru:
łuk = 2πr
Gdzie r to promień okręgu, na którym porusza się środek ciężkości kamienia. Promień można obliczyć jako połowę wysokości kamienia:
r = h/2
r = √21/2
Podstawiając wartość promienia do wzoru na długość łuku:
łuk = 2π *
Odpowiedź:
a=1,0 cm; b=2,0 cm; c=4,0 cm
Wyjaśnienie:
obrót następuje wokół krawędzi a w płaszczyźnie x,y
promień obrotu dla klocka przed obrotem
r^2=(c/2)^2+(b/2)^2=2^2+1^2=5
promień obrotu dla klocka po obrocie
r^2=1^2+2^2=5
r=√5
można obliczyć oba kąty promienia obrotu w obu położeniach
do poziomu.
α1=arc(tg1/2)=26,56°
α2=arc(tg2/1)=63,43°
α1+α2=90°
czyli kąt obrotu
α=180-90=90°=π/4
łuk=α*r=π*√5/4≈1,756
wartości kątów zależą od dokładności wartości funkcji trygonometrycznych, dokładnie można tak.
współrzędne środków ciężkości
klocek leży
A=(-2,1)
klocek stoi
B=(1,2)
AB=(1--2,2-1)=(3,1)
długość boku AB
|AB|=√(3^2+1^2)=√10
AB i dwa promienie tworzą trójkąt równoramienny o bokach
√10,√5,√5
dwa boki r=√5 tworzą trójkąt prostokątny
AB=√(r^2+r^2)=√(5+5)=∨10 c.b.d.u
co znaczy kąt obrotu = π/4