Question

Zadanie 2. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia 12•7¹³ jest większa od wartości wyrażenia 13• 7¹²

Liczba 3⁵⁰ jest większa od liczby 6²⁵
​

Answer 1

Oba zdania są prawdziwe.

Działania na potęgach

z których korzystamy w ocenie prawdziwości zdań to:

• iloczyn potęg o tych samych podstawach: [tex]\large\text{$a^n\cdot a^m= a^{n+m}$}[/tex]
• potęgowanie potęgi:  [tex]\large\text{$\left(a^n\right)^m=\big a^{n\cdot m}$}[/tex]

Zdanie pierwsze

Jeśli pomnożymy dwie liczby przez liczbę większą od 1, to ich wzajemna zależność większe-mniejsze się nie zmienia {np.:  2 < 3   i 2·8 < 3·8}.

Korzystając z iloczynu potęg niejako "od końca" mamy:

[tex]12\cdot7^{13}=12\cdot7^{1+12}=12\cdot7\cdot7^{12}=84\cdot7^{12}[/tex]

84 > 13, więc również 84·7¹² > 13·7¹²

Czyli:

         [tex]\Large\text{$\bold{12\cdot7^{13} > 13\cdot7^{12}}$}[/tex]

Zatem zdanie:

Wartość wyrażenia 12•7¹³ jest większa od wartości wyrażenia 13• 7¹²

jest PRAWDZIWE

Zdanie drugie

Aby bez kłopotu porównać dwie potęgi należy je sprowadzić

• do jednakowych podstaw lub
• do jednakowych wykładników.

Tu lepsze będzie sprowadzenie do jednakowych wykładników. Robimy to korzystając z potęgowania potęgi (również "od końca").

[tex]\large\text{$\big3^{50}=\big3^{2\cdot25}=\left(3^2\right)^{25}=\big9^{25}$}[/tex]

Jeśli mamy dwie potęgi o podstawach większych od 1 i jednakowych wykładnikach naturalnych to większa jest ta, która ma większą podstawę.

9 > 6,  więc również 9²⁵ > 6²⁵

Czyli:

          [tex]\Large\text{$\bold{3^{50} > 6^{25}}$}[/tex]

Zatem, również zdanie:

Liczba 3⁵⁰ jest większa od liczby 6²⁵

jest PRAWDZIWE