Zadanie 18. Funkcja dwóm roznym rozwiązaniom
x² + (m+1)x − m -2=0 przyporządkowuje sumę ich kwadratów
f(m) = x² + x² Funkcja ta określona jest wzorem postaci
f(m) = am² + bm+c.
x² + (m+1)x − m -2=0 przyporządkowuje sumę ich kwadratów
f(m) = x² + x² Funkcja ta określona jest wzorem postaci
f(m) = am² + bm+c.
Rozwiążmy równanie kwadratowe x² + (m+1)x − m -2 = 0. Możemy skorzystać ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
x = (-b ± sqrt(b² - 4ac)) / 2a,
gdzie a = 1, b = m+1, c = -m-2.
Teraz obliczymy wartość funkcji f(m) dla dwóch różnych rozwiązań x1 i x2:
f(m) = x1² + x2².
Podstawmy wartości x1 i x2 do wzoru na f(m):
f(m) = (-b + sqrt(b² - 4ac))² / 4a² + (-b - sqrt(b² - 4ac))² / 4a².
Teraz uproszczmy tę formułę, rozwijając kwadraty:
f(m) = (2b² + 2ac - 2bsqrt(b² - 4ac)) / 4a² + (2b² + 2ac + 2bsqrt(b² - 4ac)) / 4a².
Teraz dokonajmy dalszych uproszczeń:
f(m) = (b² + ac) / a² + sqrt(b² - 4ac) / a.
Możemy porównać powyższą formułę z wzorem f(m) = am² + bm + c, aby znaleźć wartości współczynników a, b i c:
a = 1,
b = 2sqrt(b² - 4ac) / a,
c = (b² + ac) / a².
Możemy podstawić wartości a i c, aby uzyskać wzór na b:
b = 2sqrt(b² - 4ac).
Teraz rozwiążmy równanie b² - 4ac = 0, aby znaleźć warunek na m, dla którego istnieją dwa różne rozwiązania x1 i x2:
b² - 4ac = 0
(2sqrt(b² - 4ac))² - 4ac = 0
4(b² - 4ac) = 0
b² - 4ac = 0
(2sqrt(b² - 4ac))² = 0
b² - 4ac = 0
b² = 4ac.
Podstawiając wartości a i c, otrzymujemy:
m² - 4(m+2) = 0
m² - 4m - 8 = 0
Teraz możemy rozwiązać to równanie kwadratowe, aby znaleźć wartości m, dla których istnieją dwa różne rozwiązania x1 i x2, a tym samym funkcja f(m) ma sens:
m = 2 - 2sqrt(3) lub m = 2 + 2sqrt(3).
Podsumowując, funkcja f(m) ma sens dla m = 2 - 2sqrt(3) lub m = 2 + 2sqrt(3), dla pozostałych wartości m równanie kwadratowe x² + (m+1)x − m -2 = 0 nie ma dwóch różnych rozwiązań.
Licze na naj ;D