Question

Zadanie 1
Suma S₅₉ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a(n)) jest o 375 większa od sumy S₅₄ tego ciągu. Wyznacz 57 wyraz tego ciągu.

zadanie 2
Oblicz sumę wszystkich liczb całkowitych zawartych między liczbami -92 i 21.

zadanie 3
Dla jakich wartości parametru m liczby: m, - 4, m - 15 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

zadanie 4
Oblicz sumę ¹⁄₇ + ²⁄₇ + ⁴⁄₇ + ... + ²⁵⁶⁄₇ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

zadanie 5
suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest równa 72. Jednocześnie wyrazy tego ciągu: pierwszy, piąty i siódmy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an).

zadanie 6
Do banku wpłacono 3000 zł na lokatę oprocentowaną 3,6% w skali roku, z kapitalizacją miesięczną. Po jakim czasie odsetki będą większe niż 300 zł?

Answer 1

1.

[tex]a_{n}\ < =\ ciag\ arytmetyczny\\S_{59}=S_{54}+375\\\frac{a_{1}+a_{59}}{2}*59=\frac{a_{1}+a_{54}}{2}*54+375\\59 (a_{1}+a_{59}) =54(a_{1}+a_{54})+750\\59a_{1}+59a_{59}=54a_{1}+54a_{54}+750\\5a_{1}+59(a_{1}+58r)-54(a_{1}+53r)=750\\5a_{1}+59a_{1}+3422r-54a_{1}-2862r=70\\10a_{1}+560r=750\\a_{1}+56r=75\\a_{57}=75[/tex]

2.

[tex]a_{1}=-91\\r=1\\a_{n}=-91+1(n-1)=-91+n-1=-92+n\\\\a_{n}=21\\-92+n=21\\n=113\\\\S_{113}=\frac{-91+21}{2} *113=\frac{-70}{2} *113=-35*113=-3955[/tex]

3.

[tex](m,-4 ,m-15)\ < =\ ciag\ geometryczny\\\\m(m-15)=(-4)^{2}\\m^{2}-15m-16=0\\[/tex]

Δ = 225 + 64 = 289

√Δ = 17

[tex]m_{1}=\frac{15+17}{2} =\frac{32}{2}=16 \\m_{2} = \frac{15-17}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\\\(16, -4, 1)\ lub\ (-1,-4,-16)[/tex]

4.

[tex]\frac{1}{7} +\frac{2}{7} +\frac{4}{7} +...+\frac{256}{7} =\ ?\\\\a_{1}=\frac{1}{7}\\q=2\\a_{n}=\frac{1}{7}*2^{n-1} \\\\a_{n}=\frac{256}{7} \\\frac{1}{7}*2^{n-1}=\frac{256}{7}\\2^{n-1}=256\\2^{n-1}=2^{8}\\n-1=8\\n=9\\\\S_{9}=\frac{1}{7}*\frac{1-2^{9}}{1-2} =\frac{1}{7}*\frac{1-512}{-1}=\frac{1}{7}*\frac{-511}{-1} =\frac{511}{7}=73[/tex]

5.

[tex]a_{n}\ < =\ ciag\ arytmetyczny\\\\S_{9}=72\\(a_{1},a_{5},a_{7})\ < =\ ciag\ geometryczny\\\\\left \{ {{\frac{2a_{1}+8r}{2}*9=72 } \atop {a_{1}*a_{7}=(a_{5})^{2}}} \right. \\\left \{ {{(a_{1}+4r)*9=72 } \atop {a_{1}*(a_{1}+6r)=(a_{1}+4r)^{2}}} \right. \\\left \{ {{9a_{1}+36r=72 } \atop {a_{1}^{2}+6a_{1}r=a_{1}^{2}++8a_{1}r+16r^{2}}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=\frac{72-36r}{9}=8-4r } \atop {a_{1}^{2}+6a_{1}r=a_{1}^{2}++8a_{1}r+16r^{2}}} \right. \\[/tex]

[tex]\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {(8-4r)^{2}+6(8-4r)r=(8-4r)^{2}+8(8-4r)r+16r^{2}}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {48r-24r^{2}=64r-32r^{2}+16r^{2}}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {8r^{2}+16r=0}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {r^{2}+2r=0}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {r(r+2)=0}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=8-4r } \atop {r(r+2)=0}} \right. \\\\1.\ mozliwosc:\\r=0\ oraz\ a_{1}=8\\a_{n}=8\\[/tex]

[tex]\\2.\ mozliwosc:\\r=-2\ oraz\ a_{1}=16\\a_{n}=16-2(n-1)=16-2n+2=18-2n[/tex]

6.

[tex]K_{0}=3000\\p=3.6\\m=12\\\\K_{n}-K_{0} > 300\\3000*(1+\frac{3.6}{12*100})^{n}-3000 > 300\\ 3000(1+0.003)^{n} > 3300\\(1.003)^{n} > \frac{3300}{3000} \\(1.003)^{n} > 1.1\\(1.003)^{n} > (1.003)^{32}\\n > 32\\\\Odp:\ Po\ 32\ miesiach\ odsetki\ beda\ wieksze\ niz\ 300\ zl.[/tex]