Zadania w załączniku.... Question from @Zuchykox

December 2018 1 19 Report

Zadania w załączniku.

aczo Jeśli coś jest niejasne, prośba o komentarz.

Dla wszystkich zadań przyjmujemy przybliżenie g=10.

ZADANIE 1.
Dane:

m=40[kg]
r=50[cm]=0,5[m]
$\omega_0=20[\frac{rad}{s}]$
F=20[N]

Szukane:

I, M, $\epsilon, E_{k0}$ ,t

Zadanie sprowadza się do podstawienia danych do wzorów:

Tarcza nie ma podanej grubości, więc zakładamy że jest płaskim dyskiem - wzór na moment bezwładności dysku odczytujemy z tablic:

$I=\frac{mr^2}{2}=\frac{40[kg]\cdot (0,5[m])^2}{2}=\boxed{5 [kg\cdot m^2]}$

$M=r\cdot F=0,5[m]\cdot 20[N]=\boxed{10[N\cdot m]}$

$\epsilon=\frac{M}{I}=\frac{10[N\cdot m]}{5[kg\cdot m^2]}=\boxed{2[\frac{rad}{s}]}$

$E_{k0}=\frac{I\cdot\omega_0^2}{2}=\frac{5[kg\cdot m^2\cdot (20[\frac{rad}{s}])^2}{2}=\boxed{1000[J]}$

$t=\frac{\omega_0}{\epsilon}=\frac{20[\frac{rad}{s}]}{2[\frac{rad}{s^2}]}=\boxed{10[s]}$

ZADANIE 2.
Dane:

l=10[m]
m=200[kg]

Szukane:
I, F(N}, $\omega, v_1, v_2$

a)
$I=\frac{1}{3}ml^2=\frac{1}{3}\cdot 200[kg]\cdot 10[m]\approx \boxed{6666,7 [kg\cdot m^2]}$

b)
Na podstawie załaczonego rysunku możemy zauważyć zależność:

$l\cdot F\cdot sin\alpha=\frac{l}{2}m\cdot g\cdot cos\alpha$

Przekształcając wzór otrzymamy:

$F=\frac{mgcos\alpha}{2sin\alpha}=\frac{mg}{2}ctg\alpha$

Podstawiając do wzoru:

Dla $\alpha=30^o\ \ \ \Rightarrow F\approx \boxed{1732,1[N]}$

Dla $\alpha=45^o\ \ \ \Rightarrow F=\boxed{1000 [N]}$

Dla $\alpha=60^o\ \ \ \Rightarrow F\approx \boxed{577,4[N]}$

Dla $\alpha=90^o\ \ \ \Rightarrow F=\boxed{0[N]}$

c)

Energia potencjalna pręta (środek ciężkości w połowie wysokości) zamienia się na energię kinetyczną ruchu obrotowego wokół osi umiejscowionej w końcu pręta znajdującym się przy ziemi:

$m\cdot g\cdot \frac{l}{2}=\frac{I\omega^2}{2}$

$m\cdot g\cdot \frac{l}{2}=\frac{ml^2\omega^2}{3\cdot 2} \ \ \Big|\cdot \frac{2}{l\cdot m}$

$g=\frac{l\omega^2}{3}\ \ \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{3g}{l}}\approx \boxed{1,73 [\frac{rad}{s}]}$

Prędkość liniowa środka masy:

$v_1=\omega\cdot \frac{l}{2}\approx \boxed{8,66[\frac{m}{s}]}$

Prędkość liniowa końca pręta:

$v_2=\omega\cdot l\approx \boxed{17,32[\frac{m}{s}]}$

ZADANIE 3.
Dane:

$R_1=6000[km]$
$R_2=5000[km]$
$T_1=10h=36000[s]$

Szukane:

$T_2$

Częstość kołowa przed zapadnięciem:

$\omega_1=\frac{2\pi}{T_1}=1,75\cdot 10^{-4} [\frac{rad}{s}]$

Moment bezwładnosci planety przed zapadnięciem:

$I_1=\frac{2}{5}MR_1^2$

Moment bezwładności planety po zapadnięciu zmienił się:

$I_2=\frac{2}{5}MR_2^2$

Z zasady zachowania energii wynika, że energia kientyczna planety (ruchu obrotowego) pozostanie niezmieniona:

$\frac{I_1\omega_1^2}{2}=\frac{I_2\omega_2^2}{2}$

Stąd częstość kołowa po zapadnięciu:

$\omega_2=\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}\omega_1$

$\omega_2=\sqrt{\frac{\frac{2}{5}MR_1^2}{\frac{2}{5}MR_2^2}}\omega_1$

Po przekształceniu:

$\omega_2=\sqrt{\frac{R_1^2}{R_2^2}}\omega_1=\frac{R_1}{R_2}\omega_1$

Uwzględniając że $\omega=\frac{2\pi}{T}$

$\frac{2\pi}{T_2}=\frac{R_1}{R_2}\frac{2\pi}{T_1}$

Stąd:

$T_2=\frac{R_2}{R_1}{T_1}=\frac{5000}{6000}\cdot 10[h]\approx \boxed{8,33[h]}$

W odpowiedziach jest tutaj pomyłka.

ZADANIE 4.
Dane:

m, r

Szukane:

$\frac{v_w}{v_k}$

Obliczamy prędkość walca:

Energia potencjalna posiadana przez walec na szczycie równi przekształci się u podnóża równi w energię kinetyczną (która będzie miała dwie składowe - energię ruchu postępowego i obrotowego)

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_w^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_w^2}{2}+\frac{mr^2\omega^2}{4}$

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_w^2}{2}+\frac{mr^2(\frac{v_w}{r})^2}{4}$

$g\cdot h=\frac{v_w^2}{2}+\frac{v_w^2}{4}$

$g\cdot h=\frac{3}{4}{v_w^2}$

$v_w=\sqrt{\frac{4}{3}g\cdot h}$

Podobnie obliczymy prędkość kuli:

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_k^2}{2}+\frac{I\omega^2}{2}$

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_k^2}{2}+\frac{2mr^2\omega^2}{2\cdot 5}$

$m\cdot g\cdot h=\frac{mv_k^2}{2}+\frac{mr^2(\frac{v_k}{r})^2}{5}$

$g\cdot h=\frac{v_k^2}{2}+\frac{v_k^2}{5}$

$g\cdot h=\frac{7}{10}{v_k^2}$

$v_k=\sqrt{\frac{10}{7}g\cdot h}$

Stosunek obu prędkości:

$\frac{v_w}{v_k}=\frac{\sqrt{\frac{4}{3}g\cdot h}}{\sqrt{\frac{10}{7}g\cdot h}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}}{\frac{10}{7}}}=\sqrt{\frac{4\cdot 7}{3\cdot 10}}=\sqrt{\frac{28}{30}}=\boxed{\sqrt{\frac{14}{15}}}$

Podobnie jak w poprzednim zadaniu w odpowiedziach jest błąd (czyżby celowy?)

ZADANIE 5.
Dane:
r, $\alpha$

Szukane:
$\epsilon(r)$

Wypadkowa siła działająca na kulę równa jest wypadkowej sile działającej na kulę - składowej siły grawitacji i siły tarcia (rysunek w załączeniu):

$m\cdot a=mgsin\alpha -F_T$ (Równanie 1)

Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy że moment siły nadaje ciału przyspieszenie kątowe, zgodnie z z poniższym wzorem:

$F_T\cdot r=I\cdot\epsilon$

Uwzględniając moment bezwładności kuli:

$F_T\cdot r=\frac{2}{5}mr^2\cdot\epsilon$

$F_T=\frac{2}{5}mr\cdot\epsilon$

Wiemy również, że:

$a=\epsilon\cdot r$

Podstawiając do równania (1):

$m\cdot \epsilon\cdot r=mgsin\alpha -\frac{2}{5}mr\cdot\epsilon$

$\frac{7}{5}mr\cdot\epsilon=mgsin\alpha$

Otrzymujemy wzór pozwalajacy obliczyć przyspieszenie kątowe:

$\epsilon=\frac{5g\cdot sin\alpha}{7r}$

Obliczenia:

Dla $r=0,2 [m]\Rightarrow \epsilon\approx \boxed{17,86[\frac{rad}{s^2}]}$

Dla $r=0,3 [m]\Rightarrow \epsilon\approx \boxed{11,9[\frac{rad}{s^2}]}$

2 votes Thanks 1