Zadania, rozkłady dyskretne
zad 1
Zmienna losowa Y ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 900, p = 0, 1.
Znaleźć odchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2
zad 2
. Chcąc zalogować się na pewnej stronie internetowej użytkownicy napotykają
na problem średnio raz na pięć prób zalogowania. Pojawianie się problemów z zalogowaniem jest niezależne od wcześniejszych problemów. Niech X oznacza zmienną losową
oznaczającą liczbę prób potrzebną do zalogowania się na stronę.
(i) Jakie jest prawdopodobieństwo, że uda nam się zalogować po co najwyżej 4 próbach?
(ii) Ile średnio prób musimy wykonać, aby z powodzeniem zalogować się na stronie?
zad 1
Zmienna losowa Y ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 900, p = 0, 1.
Znaleźć odchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2
zad 2
. Chcąc zalogować się na pewnej stronie internetowej użytkownicy napotykają
na problem średnio raz na pięć prób zalogowania. Pojawianie się problemów z zalogowaniem jest niezależne od wcześniejszych problemów. Niech X oznacza zmienną losową
oznaczającą liczbę prób potrzebną do zalogowania się na stronę.
(i) Jakie jest prawdopodobieństwo, że uda nam się zalogować po co najwyżej 4 próbach?
(ii) Ile średnio prób musimy wykonać, aby z powodzeniem zalogować się na stronie?
Odpowiedź:
Odpowiedź: Odchylenie standardowe zmiennej losowej X wynosi 27.
Odpowiedź: Średnio musimy wykonać 5 prób, aby z powodzeniem zalogować się na stronie.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1:
Zmienna losowa Y ma rozkład dwumianowy o parametrach n = 900 i p = 0,1. Oznacza to, że Y jest sumą n niezależnych prób Bernoulliego, gdzie każda próba ma prawdopodobieństwo sukcesu p = 0,1.
Chcemy znaleźć odchylenie standardowe zmiennej losowej X = 3Y + 2.
Wartość oczekiwana zmiennej Y wynosi E(Y) = np = 900 * 0,1 = 90.
Odchylenie standardowe zmiennej Y wynosi sqrt(np(1-p)) = sqrt(900 * 0,1 * (1-0,1)) = sqrt(81) = 9.
Zatem odchylenie standardowe zmiennej X wynosi odchylenie standardowe zmiennej Y pomnożone przez 3, czyli 3 * 9 = 27.
Odpowiedź: Odchylenie standardowe zmiennej losowej X wynosi 27.
Zadanie 2:
(i) Prawdopodobieństwo, że uda nam się zalogować po co najwyżej 4 próbach można obliczyć jako suma prawdopodobieństw dla 1, 2, 3 i 4 prób.
P(X ≤ 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p, gdzie k to liczba prób
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
P(X ≤ 4) = (1 - (1/5))^0 * (1/5) + (1 - (1/5))^1 * (1/5) + (1 - (1/5))^2 * (1/5) + (1 - (1/5))^3 * (1/5)
P(X ≤ 4) = 1 + (4/5) + (4/5)^2 + (4/5)^3 ≈ 0,815
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że uda nam się zalogować po co najwyżej 4 próbach wynosi około 0,815.
(ii) Średnio prób musimy wykonać, aby z powodzeniem zalogować się na stronie, to wartość oczekiwana zmiennej X, czyli E(X).
Wartość oczekiwana zmiennej X dla rozkładu geometrycznego można obliczyć jako odwrotność prawdopodobieństwa sukcesu, czyli E(X) = 1/p.
Podstawiając wartość p = 1/5, otrzymujemy:
E(X) = 1 / (1/5) = 5
Odpowiedź: Średnio musimy wykonać 5 prób, aby z powodzeniem zalogować się na stronie.