Question

Zad2.

W trójkącie prostokątnym wpisano okrąg. Przyprostokątne tego trójkąta to 3 i 5. Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem. Zrób rysunek pomocniczy

Answer 1

[tex]\huge\boxed{P=\dfrac{(49-8\sqrt{34})\pi}2}[/tex]

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

[tex]\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}\thicklines\put(0,0){\line(1,0){5}}\put(0,0){\line(0,1){3}}\qbezier(0,3)(5,0)(5,0)\put(.2,.2){\circle*{.1}}\put(-.5, 1.3){$a$}\put(2.3,-.5){$b$}\put(2.5,1.8){$c$}\put(5,1.5){$\huge\boxed{a^2+b^2=c^2}$}\end{picture}[/tex]

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c można wpisać okrąg o promieniu r. Wówczas, promienie okręgu poprowadzone na przyprostokątne tego trójkąta podzielą je na odcinki, z których jeden będzie równy długości promienia. Wówczas:

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{l}c=a+b-2r\\\\r=\dfrac{a+b-c}2\end{array}}[/tex]

Pole koła

Koło jest zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie ograniczonej okręgiem, których odległość od środka okręgu jest mniejsza lub równa promieniowi.

[tex]\huge\boxed{P_{\bullet}=\pi r^2}[/tex]

Rozwiązanie:

Wiemy, że w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 5 wpisano okrąg.

[tex]a = 3\\\\b=5\\\\[/tex]

Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:

[tex]\begin{array}{lll}c^2=3^2+5^2\\\\c^2=9+25\\\\c^2=34&|&\sqrt{}\\\\\underline{\bold{c=\sqrt{34}}}\end{array}[/tex]

Wyznaczamy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt:

[tex]r=\dfrac{3+5-\sqrt{34}}2\\\\\\\underline{\bold{r=\dfrac{8-\sqrt{34}}2}}[/tex]

Obliczamy pole koła ograniczonego tym okręgiem:

[tex]P=\pi\cdot \left(\dfrac{8-\sqrt{34}}2\right)^2[/tex]

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

    → (a - b)² = a² - 2ab + b²

[tex]P=\pi\cdot \dfrac{(8-\sqrt{34})^2}{4}\\\\\\P=\pi\cdot \dfrac{8^2-2\cdot 8\cdot \sqrt{34}+(\sqrt{34})^2}{4}\\\\\\P=\pi\cdot\dfrac{64-16\sqrt{34}+34}4\\\\\\P=\pi\cdot \dfrac{98-16\sqrt{34}}{4}\\\\\\P=\pi\cdot \dfrac{2\!\!\!\!\diagup^1(49-8\sqrt{34})}{4\!\!\!\!\diagup_2}\\\\\\\boxed{\bold{P=\dfrac{(49-8\sqrt{34})\pi}2 [j^2]}}[/tex]