Question

Zad.2. Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W(x) = x² - 4x³ + 8x² + ax + b tak, aby wielomian W(x) był kwadratem trójmianu kwadratowego.​

Answer 1

Verified answer

Wielomian jest stopnia czwartego, a współczynnik przy najwyższej potędze równy jest 1.

Trójmian kwadratowy to: y=ax²+bx+c (w naszym przypadku a=1)

Chcemy aby wielomian był kwadratem takiego trójmianu, więc mamy:
w(x)=(x²+cx+d)²
No i wymnażamy, wykorzystajmy to, że
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

w(x)=x⁴+c²x²+ d²+2cx³+2dx²+2cdx
Uporządkujmy:

w(x)= x⁴+ 2cx³+ x²(c²+2d)+2cdx+ d²
Teraz przyrównujemy wspolczynniki:
2c=-4----> c=-2

c²+2d=8---> d=1/2(8-c²)=1/2*4=2

a=2cd----> a=-8
b= d²---->b=4
Odp. a=-8; b=4