Question

zad.1 Wyznacz a ,dla którego wielomiany W i V są równe:
W(x)=(2x^2-3)(2x-a^2)-4
V(x)=4x^3+a-3)x^2-6x-a
zad.2 Uzasadnij że wielomian W(x)-(-6x^2+19x+2)^2-(x^2+5x+5)^2 jest podzielny przez dwumian P(x)-5x-1
zad.3 Rozwiąż równania:
a) (4-x)(x15)(2x-3)=0
b) x^4-3x^3+4x^2-12x=0
c) (x^2-3)^2=4x^2
Proszę o szybką odpowiedz będę wdzięczna

Answer 1

Zadanie 1.

[tex]W(x)=(2x^2-3)(2x-a^2)-4\\V(x)=4x^3+(a-3)x^2-6x-a[/tex]

Zapiszmy wielomian W(x) w postaci ogólnej.

[tex]W(x)=(2x^2-3)(2x-a^2)-4\\W(x)=4x^3-2a^2x^2-6x+3a^2-4[/tex]

Wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe. Stąd musi zajść układ warunków:

[tex]1)\ -2a^2=a-3\qquad 2)\ 3a^2-4=-a[/tex]

Ad. 1.

[tex]-2a^2=a-3\\-2a^2-a+3=0\\\Delta=(-1)^2-4*(-2)*3=1+24=25\\\sqrt\Delta=5\\a_1=\frac{1-5}{2*(-2)}=\frac{-4}{-4}=1\\a_2=\frac{1+5}{2*(-2)}=\frac{6}{-4}=-1\frac{1}{2}[/tex]

Ad. 2.

[tex]3a^2-4=-a\\3a^2+a-4=0\\\Delta=1^2-4*3*(-4)=1+48=49\\\sqrt\Delta=7\\a_1=\frac{-1-7}{2*3}=\frac{-8}{6}=-1\frac{1}{3}\\a_2=\frac{-1+7}{2*3}=\frac{6}{6}=1[/tex]

Oba warunki spełnia tylko

[tex]a=1[/tex]

Zadanie 2.

Błąd w zadaniu. Wielomian W(x) nie jest podzielny przez dwumian P(x).

Zadanie 3.

a)

[tex](4-x)(x-15)(2x-3)=0\\4-x=0\ \vee\ x-15=0\ \vee\ 2x-3=0\\-x=-4\ |:(-1)\ \vee\ x=15\ \vee\ 2x=3\ |:2\\x=4\ \vee\ x=15\ \vee\ x=1\frac{1}{2}\\x\in\left\{1\frac{1}{2},4,15\right\}[/tex]

Uwaga: W drugim nawiasie brakowało znaku między x i 15. Przyjąłem minus. Gdyby jednak miał być plus, to zamiast 15 rozwiązaniem będzie -15.

b)

[tex]x^4-3x^3+4x^2-12x=0\\x(x^3-3x^2+4x-12)=0\\x[x^2(x-3)+4(x-3)]=0\\x(x-3)(x^2+4)=0\\x=0\ \vee\ x-3= 0\ \vee\ x^2+4=0\\x=0\ \vee\ x=3\ \vee\ \underbrace{x^2=-4}_{\text{sprzeczne}}\\x\in\{0,3\}[/tex]

c)

[tex](x^2-3)^2=4x^2\\x^2-3=2x\ \vee\ x^2-3=-2x\\x^2-2x-3=0\ \vee\ x^2+2x-3=0[/tex]

Pierwsze równanie:

[tex]x^2-2x-3=0\\\Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\x_1=\frac{2-4}{2}=-1\\x_2=\frac{2+4}{2}=3[/tex]

Drugie równanie:

[tex]x^2+2x-3=0\\\Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\\x_2=\frac{-2+4}{2}=1[/tex]

Ostatecznie

[tex]x\in\{-3,-1,1,3\}}[/tex]