Question

Zad w zdjęciu, statystyka

Answer 1

Odpowiedź:

1334961

Jest to tzw. problem roztargnionej sekretarki pochodzący od Montmorta w 1708 r.

Policzmy zdarzenia że co najmniej jedna osoba trafi na swój płaszcz.

A₁-pierwszy trafi na swój płaszcz

Odpowiedni A₂ ,A₃...A₁₀ -druga , trzecia,...dziesiąta  osoba trafi na swój płaszcz. Interesować nas będzie

[tex]|A_1\cup A_2\cup A_3+....A_{10}|[/tex]

Skorzystamy z zasady włączeń i wyłączeń.

[tex]\displaystyle |A_1\cup A_2\cup A_3\cup....\cup A_n|=\sum\limits_{i=1}^n-\sum\limits_{i,j,i < j}|A_i\cap A_j|+\\+\sum\limits_{i,j,k:i < j < k}|A_i\cap A_j\cap A_k|-...(-1)^{n-1}|A_1 \cap A_2 \cap ...\cap A_n|[/tex]

[tex]|A_1|=|A_2|= |A_3|= ...|A_{10}|=9!\\|A_1\cap A_2|=|A_2\cap A_3|=...|A_9\cap A_{10}|={10 \choose 2}\cdot 8!\\|A_1\cap A_2\cap A_3|=|A_2\cap A_3\cap A_4|=...|A_8 \cap A_9\cap A_{10}|={10 \choose 3}\cdot 7!\\...........................................................\\ |A_1\cap A_2\cap A_3\cap....\cap A_{10}|$=1\\[/tex]

[tex]\displaystyle |A_1\cup A_2\cup A_3\cup....\cup A_{10}|=10\cdot 9!-{10\choose 2}\cdot 8!+{10\choose 3}\cdot 7!-{10\choose 4}\cdot 6!+\\+{10\choose 5}\cdot 5!-{10\choose 6}\cdot 4!+{10\choose 7}\cdot 3!-{10\choose 8}\cdot 2!+{10\choose 1}\cdot 9!-1[/tex]

[tex]|A_1\cup A_2\cup A_3\cup....\cup A_{10}|=2293839[/tex]

Wszystkich możliwości jest 10! .Interesujące nas zdarzenie B , że żaden nie będzie miał swojego płaszcza to:

[tex]|B|=10!- |A_1\cup A_2\cup A_3\cup....\cup A_{10}|=\underline {1334961}[/tex]

Gdybyśmy mieli obliczyć prawdopodobieństwo     takiego zdarzenia to wyniosłoby ono:

[tex]\displaystyle P(B)=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...+\frac{1}{10!}\approx\frac{1}{e}[/tex]