Question

ZAD 9 I 10

9W jaki sposób obliczyć, ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których
występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 3? Zastosuj regułę
mnożenia i dodawania, opisz każdy z przypadków, który będziesz
rozpatrywać. W tym zadaniu, obok wyniku, równie ważny jest opis sposobu
dojścia do rozwiązania.


10. Opowiedz o kątach i przekątnych w prostokątach, równoległobokach,
rombach oraz trapezach. Jaka jest zależność między miarami kątów
znajdujących się przy jednym boku? Jak to wygląda w przypadku trapezu
dowolnego i równoramiennego? Co można powiedzieć o przekątnych tych
figur? Jakie są ich długości? Czy przecinają się w szczególnym miejscu lub pod
szczególnym kątem?

Answer 1

9.Aby obliczyć liczbę czterocyfrowych liczb naturalnych, w których występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 3, możemy rozważyć dwa przypadki: 1. Pierwsza cyfra to 0: w tym przypadku mamy 9 możliwości dla drugiej cyfry (cyfra 0 już wystąpiła, więc nie może być ponownie wybrana), 8 możliwości dla trzeciej cyfry (cyfra 3 już wystąpiła, więc nie może być ponownie wybrana, a także nie może być cyfrą 0) oraz 7 możliwości dla czwartej cyfry (ponieważ dwie cyfry już wystąpiły). Zastosowanie reguły mnożenia daje nam: 9 x 8 x 7 = 504 możliwości. 2. Pierwsza cyfra to 3: w tym przypadku mamy 8 możliwości dla drugiej cyfry (cyfra 3 już wystąpiła, więc nie może być ponownie wybrana, a także nie może być cyfrą 0), 9 możliwości dla trzeciej cyfry (cyfra 0 jeszcze nie wystąpiła, a nie może być też cyfrą 3) oraz 7 możliwości dla czwartej cyfry (ponieważ dwie cyfry już wystąpiły). Zastosowanie reguły mnożenia daje nam: 8 x 9 x 7 = 504 możliwości. Aby uzyskać ostateczny wynik, należy dodać wyniki obu przypadków: 504 + 504 = 1008 możliwości. Podsumowując, liczbę czterocyfrowych liczb naturalnych, w których występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 3, można obliczyć poprzez rozważenie dwóch przypadków (pierwsza cyfra to 0 lub 3), a następnie zastosowanie reguły mnożenia dla każdego z przypadków. Ostateczny wynik uzyskuje się przez dodanie wyników obu przypadków.

10. W prostokącie, każdy kąt wynosi 90 stopni, a przekątne (czyli linie łączące przeciwległe wierzchołki) mają taką samą długość i przecinają się w środku prostokąta pod kątem prostym. W równoległoboku przeciwległe kąty są równe, a przekątne przecinają się w środku figury. W rombie, przeciwległe kąty są równe, a przekątne przecinają się w środku figury pod kątem prostym. W trapezie, dwa kąty przyległe do jednej podstawy (czyli boku równoległego do podstawy) mają sumę równą kątowi przyległemu do drugiej podstawy. Dla trapezu dowolnego przekątne przecinają się w punkcie środkowym łączącej je prostej, natomiast dla trapezu równoramiennego przekątne są sobie równe i przecinają się w punkcie środkowym łączącej je prostej pod kątem prostym. Długość przekątnych zależy od długości boków figury. W prostokącie, przekątne mają długość równą pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów boków. W równoległoboku i rombie, przekątne mają długość równe połowie przekątnej prostokąta o bokach równych bokom figury. W trapezie, długość przekątnej można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, gdyż można podzielić trapez na trójkąty prostokątne. Przekątne prostokąta przecinają się w środku figury pod kątem prostym, przekątne równoległoboku i rombu przecinają się w środku figury, a przekątne trapezu przecinają się w punkcie środkowym łączącej je prostej. Natomiast kąty pomiędzy przecinającymi się przekątnymi zależą od kształtu figury i ich miary można obliczyć stosując odpowiednie wzory.