Wzory na tangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
Wzory na cotangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Zadanie polega na obliczeniu podanych wyrażeń wiedząc, że α jest kątem ostrym, a:
Wiemy, że iloczyn funkcji tangens i cotangens tego samego kąta jest równy 1. Sumę funkcji tangens i cotangens znamy z treści zadania, co podstawiamy do równania:
Sumę funkcji tangens i cotangens znamy z treści zadania. Sumę kwadratów tych funkcji obliczyliśmy w przykładzie c). Iloczyn funkcji tangens i cotangens jest równy 1. Podstawiamy wszystkie wartości do równania:
Verified answer
[tex]\boxed{\begin{array}{llll}a)&sin\alpha cos\alpha=\dfrac13,&d)&tg^3\alpha+ctg^3\alpha=18\\\\b)&sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}3,&e)&tg^4\alpha+ctg^4\alpha=47\\\\c)&tg^2\alpha+ctg^2\alpha=7,&f)&\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}=\sqrt5\end{array}}[/tex]
Funkcje trygonometryczne kątów ostrych
Przypomnijmy podstawowe własności trygonometryczne:
[tex]\boxed{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
Zadanie polega na obliczeniu podanych wyrażeń wiedząc, że α jest kątem ostrym, a:
[tex]tg\alpha+ctg\alpha=3[/tex]
a)
[tex]sin\alpha cos\alpha=\:?[/tex]
Skorzystajmy ze wzorów na tangens i cotangens:
[tex]tg\alpha+ctg\alpha=3\\\\\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}=3[/tex]
Sprowadzamy równanie do wspólnego mianownika:
[tex]\dfrac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=3[/tex]
W liczniku pojawiła się Jedynka Trygonometryczna:
[tex]\begin{array}{lll}\dfrac1{sin\alpha cos\alpha}=3&|&\cdot sin\alpha cos\alpha\\\\1=3sin\alpha cos\alpha&|&:3\\\\\boxed{\underline{\bold{sin\alpha cos\alpha=\dfrac13}}}\end{array}[/tex]
b)
[tex]sin\alpha + cos\alpha = \: ?[/tex]
Podnieśmy to wyrażenie do kwadratu i skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=sin^2\alpha+cos^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha[/tex]
W rozwinięciu pojawiła się Jedynka Trygonometryczna:
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=1+2sin\alpha cos\alpha[/tex]
Wartość iloczynu funkcji sinus i cosinus obliczyliśmy w przykładzie a), co podstawiamy do równania:
[tex](sin\alpha+cos\alpha)^2=1+2\cdot \dfrac13\\\\(sin\alpha+cos\alpha)^2=1+\dfrac23\\\\(sin\alpha+cos\alpha)^2=\dfrac53[/tex]
Pierwiastkujemy całe wyrażenie:
[tex]\begin{array}{lll}(sin\alpha+cos\alpha)^2=\dfrac53&|&\sqrt\\\\sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{\dfrac53}\\\\sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\end{array}[/tex]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
[tex]sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\\boxed{\underline{\bold{sin\alpha+cos\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}3}}}[/tex]
c)
[tex]tg^2\alpha+ctg^2\alpha=\:?[/tex]
Aby obliczyć to wyrażenie, podniesiemy nasze równanie wyjściowe do kwadratu z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
⇒ (a+b)²=a²+2ab+b²
[tex]\begin{array}{lll}(tg\alpha+ctg\alpha)^2=tg^2\alpha+ctg^2\alpha+2tg\alpha ctg\alpha&|&-2tg\alpha ctg\alpha\\\\tg^2\alpha+ctg^2\alpha=(tg\alpha+ctg\alpha)^2-2tg\alpha ctg\alpha\end{array}[/tex]
Wiemy, że iloczyn funkcji tangens i cotangens tego samego kąta jest równy 1. Sumę funkcji tangens i cotangens znamy z treści zadania, co podstawiamy do równania:
[tex]tg^2\alpha+ctg^2\alpha=3^2-2\cdot 1\\\\tg^2\alpha+ctg^2\alpha=9-2\\\\\boxed{\underline{\bold{tg^2\alpha+ctg^2\alpha=7}}}[/tex]
d)
[tex]tg^3\alpha+ctg^3\alpha=\:?[/tex]
Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:
⇒ a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
[tex]tg^3\alpha+ctg^3\alpha=(tg\alpha+ctg\alpha)(tg^2\alpha+ctg^2\alpha-tg\alpha ctg\alpha)[/tex]
Sumę funkcji tangens i cotangens znamy z treści zadania. Sumę kwadratów tych funkcji obliczyliśmy w przykładzie c). Iloczyn funkcji tangens i cotangens jest równy 1. Podstawiamy wszystkie wartości do równania:
[tex]tg^3\alpha+ctg^3\alpha=3(7-1)\\\\tg^3\alpha+ctg^3\alpha=3\cdot 6\\\\\boxed{\underline{\bold{tg^3\alpha+ctg^3\alpha=18}}}[/tex]
e)
[tex]tg^4\alpha+ctg^4\alpha=\:?[/tex]
Wyznaczmy tg⁴α + ctg⁴α podnosząc tg²α +ctg²α do kwadratu:
[tex]\begin{array}{lll}(tg^2\alpha+ctg^2\alpha)^2=tg^4\alpha+ctg^4\alpha+2tg^2\alpha ctg^2\alpha&|&-2tg^2\alpha ctg^2\alpha\\\\tg^4\alpha+ctg^4\alpha=(tg^2\alpha+ctg^2\alpha)^2-2(tg\alpha ctg\alpha)^2\end{array}[/tex]
Sumę kwadratów funkcji tangens i cotangens wyznaczyliśmy w przykładzie c).
[tex]tg^4\alpha+ctg^4\alpha=7^2-2(1^2)\\\\tg^4\alpha+ctg^4\alpha=49-2\cdot 1\\\\tg^4\alpha+ctg^4\alpha=49-2\\\\\boxed{\underline{\bold{tg^4\alpha+ctg^4\alpha=47}}}[/tex]
f)
[tex]\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}=\:?[/tex]
Podnieśmy całe to wyrażenie do kwadratu:
[tex]\left(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=tg\alpha+ctg\alpha+2\sqrt{tg\alpha ctg\alpha}[/tex]
Sumę funkcji tangens i cotangens znamy z treści zadania:
[tex](\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=3+2\sqrt1\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=3+2\\\\(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=5[/tex]
Pierwiastkujemy całe wyrażenie:
[tex]\begin{array}{lll}(\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha})^2=5&|&\sqrt{}\\\\\boxed{\underline{\bold{\sqrt{tg\alpha}+\sqrt{ctg\alpha}=\sqrt5}}}\end{array}[/tex]