Question

zad. 3
Pole trapezu równoramiennego jest równe 120 cm². Suma
długości podstaw tego trapezu jest równa 30. Wyznacz
kąt, pod jakim przecinają się przekątne tego trapezu.

Proszę o wyjaśnienie :)

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Oznaczmy długość jednej z podstaw trapezu równoramiennego przez a, a długość ramion przez h. Z treści zadania mamy:

P = 120 cm² (pole trapezu)

2a = 30 - h (suma długości podstaw)

Zauważmy, że przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty równoramienne, o kątach wierzchołkowych wynoszących α, 180°-α, α i 180°-α stopni (gdzie α to kąt między podstawami trapezu). Z tego wynika, że suma kątów wewnętrznych tego trapezu wynosi:

4α + 2×180°-2α = 720°

Rozwiązując to równanie otrzymujemy α = 120°.

Aby wyznaczyć długość ramion, skorzystamy z wzoru na pole trapezu:

P = (a + b) × h / 2

Podstawiamy tu wartości z zadania i mamy:

120 = (a + a) × h / 2

h = 240 / (2a)

Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania:

2a = 30 - 240 / (2a)

4a² = 900 - 240

4a² = 660

a² = 165

a ≈ 12,85 cm

W końcu, podstawiając wartość a do wzoru na h, otrzymujemy:

h = 240 / (2 × 12,85) ≈ 9,35 cm

Wiemy zatem, że trapez ma podstawy długości 12,85 cm i 12,85 cm oraz ramiona długości 9,35 cm.

Aby wyznaczyć kąt między przekątnymi, możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów dla trójkąta o bokach 9,35 cm, 12,85 cm i x (gdzie x to długość przekątnej trapezu). Mamy:

x² = 9,35² + 12,85² - 2×9,35×12,85×cos(α)

x² ≈ 148,25

x ≈ 12,17 cm

Ostatecznie, kąt między przekątnymi można wyznaczyć z twierdzenia cosinusów dla trójkąta o bokach 12,17 cm, 12,85 cm i 12,85 cm. Mamy:

cos(β) = (12,85² + 12,85² - 12,17²) / (2×12,85×12,85)

β ≈ 29,5°

Zatem kąt między przekątnymi trapezu wynosi około 29,5°.