Question

zad. 1)
Czworokąt KLMN jest wpisany w okrąg. Kąt przy wierzchołku K jest 8 razy większy od kąta przy wierzchołku M, zaś kąty przy pozostałych wierzchołkach różnią się o 34 stopnie. Wyznacz miary kątów tego czworokąta.

zad. 2)
W równoległoboku o kącie rozwartym 120 stopni, długości boków różnią się o 1 cm. Krótsza przekątna ma długość √31 cm. Wyznacz długości boków tego czworokąta.

zad. 3)
W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma długość 4 cm., zaś krótsze ramię 6 cm. Trapez ten jest opisany na okręgu. Wyznacz długości odcinków na jakie dzieli drugie ramię tego trapezu punkt styczności z okręgiem.

Proszę o rysunki do tych zadań! Daje naj oczywiście i 100 pkt!

Answer 1

Odpowiedź:

z.1

α + 8 α = 9 α = 180° / : 9

α = 20° ,  8 α = 160°

oraz

β + ( β + 34° ) = 2 β + 34° = 180°

2 β = 146° / : 2

β = 73°    ,   β +  34° = 107°

Odp. 160°, 107°, 20°, 73°

=========================

z.2

β = 120°

α = 60°

b > 0         a = b + 1

więc

( [tex]\sqrt{31} )^2 = b^2 + ( b + 1)^2 - 2 b*(b +1)*cos 60^o[/tex]

31 =  b² + b² +2 b + 1 - (b² + b)

31 = b² + b + 1

b² + b - 30 = 0                  Δ = 1 - 4*1*(- 30) = 121         √Δ = 11

b = [tex]\frac{- 1 + 11}{2} = 5[/tex]

a = 5 + 1 = 6

Odp.  a =  6 cm,   b = 5 cm

=========================

z.3

b = 4 cm

h = 6 cm

a =  3 + y                 c =  x + y

Mamy

4 + 3 + y = 6 + x + y

7 = 6 + x

x = 7 - 6 = 1

-------------------

6² + (y - 1)² = ( y + 1)²

36 + y² -2 y + 1 = y² +2 y + 1

4 y = 36 / : 4

y = 9

--------------

c = x + y = 1 + 9

Odp. x = 1 cm.   y = 9 cm

=========================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

zad 1

Suma miar kątów w czworokącie KLMN wynosi 360 stopni, więc możemy utworzyć równanie:

x + 8x + (x + 34) + (8x + 34) = 360

18x + 68 = 360

18x = 360 - 68

18x = 292

x = 292 / 18

x ≈ 16,22

Kąt przy wierzchołku K: 8x ≈ 8 * 16,22 ≈ 129,76 stopni

Kąt przy wierzchołku L: x + 34 ≈ 16,22 + 34 ≈ 50,22 stopni

Kąt przy wierzchołku N: 8x + 34 ≈ 8 * 16,22 + 34 ≈ 166,16 stopni

zad 2

re = 2d re - re = 1

2d - re = 1 re = 1

re = 2 * re = 2 * 1 = 2 cm d = 1 cm

Więc długość boku równoległoboku wynosi 1 cm i 2 cm.

zad 3

w załączniku