Question

Z urny, w której znajduje się 7 kul białych i 3 kule czarne, losujemy 6 razy parę kul, przy czym po każdym losowaniu parę kul wkładamy ponownie do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 4 razy otrzymamy parę kul różnego koloru?

Answer 1

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że 4 razy otrzymamy parę kul różnego koloru wynosi około 0,2

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia pary kul różnego koloru w jednym losowaniu.

[tex]p=\dfrac{7}{10}\cdot \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{7}{9}=\dfrac{7}{15}[/tex]

prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (wyciągniemy dwie kule tego samego koloru) wynosi:

[tex]q=1-p=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}[/tex]

Ze schematu Bernoullego prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach:

[tex]$P_n(k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}$[/tex]

[tex]$P_6(4)={6\choose 4}\cdot \left(\frac{7}{15}\right)^4\cdot\left(\frac{8}{15}\right)^2=$[/tex]

[tex]15\cdot \dfrac{2401}{50625}\cdot \dfrac{64}{225}=\boxed{\dfrac{153664}{759375}}[/tex]

Answer 2

Odpowiedź:

P(R)- pr. otrzymania dwu kul różnokolorowych w jednym losowaniu

P(R)=P(B)*P(Cz/B)+P(Cz)*P(B/Cz)

[tex]P(R)=\frac{7}{10} \cdot\frac{3}{9} +\frac{3}{10} \cdot\frac{7}{9} =\frac{42}{90} =\frac{7}{15}[/tex]

Można też narysować drzewko, które sobie daruję

Skorzystamy teraz ze schematu Bernouliego

[tex]P_{n}(k)={n \choose k}\cdot p^{k} \cdot q^{n-k}[/tex]

n-ilość prób

k -ilość sukcesów

p-pr. sukcesu

q-pr.porażki

[tex]n=6\ k=4\\p=\frac{7}{15} \\q=\frac{8}{15} \\P_{6}(4)={6\choose4}\cdot (\frac{7}{15} )^{4}\cdot(\frac{8}{15})^2 =\frac{6!} {4!\cdot2!}\cdot\frac{7^{4}\cdot 8^{2} }{15^{6}} =\frac{7^{4}\cdot 8^{2}}{15^{5}} \approx 0,2[/tex]