Question

Z pudełka zawierającego trzy razy więcej kul białych niż czarnych losujemy jedną kulę, oglądamy ją, a następnie wkładamy z powrotem do pudełka.
Takie losowanie wykonujemy n razy.
Wyznacz najmniejszą liczbę n, dla której prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest większe od
0, 999.
​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]n=5[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]x[/tex] - liczba kul czarnych

[tex]3x[/tex] - liczba kul białych

[tex]n[/tex] - liczba losowań

A - zdarzenie, że wylosowano co najmniej jedną kulę białą

[tex]P(A) > 0,999[/tex]

Prawdopodobieństwo zdarzenia A policzymy za pomocą prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego A', czyli że nie wylosowano żadnej kuli białej.

[tex]P(A)=1-P(A')[/tex]

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' policzymy za pomocą schematu Bernoulliego, pozwalającego policzyć prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach.

[tex]P_n(k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/tex]

W tym zadaniu mamy

[tex]k=0\\p=\frac{3x}{x+3x}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}[/tex]

Zatem

[tex]P(A')={n\choose 0}*\left(\frac{3}{4}\right)^0*\left(\frac{1}{4}\right)^{n-0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}*1*\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{n!}{1*n!}*\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=1*\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\\=\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=(2^{-2})^n=2^{-2n}\\\\P(A) > 0,999\\1-P(A') > 0,999\\1-2^{-2n} > 0,999\\-2^{-2n} > 0,999-1\\-2^{-2n} > -0,001\ |:(-10\\2^{-2n} < 0,001\ |\ \log_2\\-2n < \log_20,001\ |:(-2)\\n > -\frac{\log_20,001}{2}\approx-\frac{-9,966}{2}=4,983[/tex]

Zatem najmniejsza liczba n spełniająca warunki zadania to 5.