Question

Z odcinka o długości 1 wylosowano dwa punkty, dzielące ten odcinek na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że środkowa część jest najkrótsza?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\Large\boxed{p=\dfrac{1}{3}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Przez x i y oznaczmy odległość wylosowanych punktów od początku odcinka, wtedy:

[tex]0\leqslant x, y \leqslant 1[/tex]

Rozważmy dwa przypadki:

1. przypadek

[tex]y\leqslant x[/tex]

Środkowa część jest najkrótsza gdy:

[tex]\begin{cases}x-y < y\\x-y < 1-x\end{cases}[/tex]

co po uproszczeniu daje:

[tex]\begin{cases}y > \frac{1}{2}x\\y > 2x-1\end{cases}[/tex]

2. przypadek

[tex]y > x[/tex]

Środkowa część jest najkrótsza jeżeli:

[tex]\begin{cases}y-x < x\\y-x < 1-y\end{cases}[/tex]

co po uproszeniu daje:

[tex]\begin{cases}y < 2x\\y < \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}[/tex]

Teraz zależności rysujemy na płaszczyźnie (załącznik) Na niebiesko pierwszy przypadek, na czerwono drugi.

Ponieważ [tex]|\Omega|=1[/tex], szukanym prawdopodobieństwem jest suma pół zaznaczonych trójkątów

[tex]p=\dfrac{1}{3}[/tex]