Odpowiedź:
zad 7
y = - 2/5x- 2 ; P = ( 3/4 , 0 )
a₁ - współczynnik kierunkowy danej prostej = - 2/5
b₁ - wyraz wolny danej prostej = - 2
Warunkiem prostopadłości prostych jest :
a₁ * a₂ = - 1 , gdzie a₂ jest współczynnikiem kierunkowym prostej prostopadłej
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : ( - 2/5) = 1 * 5/2 = 5/2
Prosta prostopadła ma wzór :
y = a₂x + b₂ = 5/2x + b₂ ; P = ( 3/4 , 0 )
Ponieważ punkt P należy do tej prostej , to spełnia warunki równania
0 = 5/2 * 3/4 + b₂
0 = 15/8 + b₂
b₂ = - 15/8
y = (5/2)x - 15/8 = (2 1/2)x - 1 7/8
zad 8
A = (- 1 , - 6 ) , B= ( 4 , 4 )
xa = - 1 , xb = 4 , ya = - 6 , yb = 4
(xb -xa)(y - ya) = (yb -ya)(x -xa)
(4 + 1)(y + 6) = (4 + 6)(x+ 1)
5(y+ 6)= 10(x + 1) | : 5
y + 6 = 2(x + 1)
y = 2(x + 1) - 6
y = 2x + 2 - 6
y = 2x - 4
[tex]\huge\boxed{7. \ y = \frac{5}{2}x -\frac{15}{8}}\\\\\\\huge\boxed{8. \ y = 2x-4}[/tex]
7.
Niech będą dane dwie proste:
[tex]y = a_1x + b_1[/tex]
oraz
[tex]y = a_2x + b_2[/tex]
Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:
[tex]a_1\cdot a_2 = -1[/tex]
[tex]y = -\frac{2}{5}x - 2\\\\a_1 = -\frac{2}{5}\\\\a_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{5}}}=\frac{5}{2}, \ czyli:\\\\\underline{y = \frac{5}{2}x +b}\\\\P(\frac{3}{4},0) \ \ \rightarrow \ \ x = \frac{3}{4}, \ y = 0[/tex]
Współrzędne punktu podstawiamy do powyższego równania i obliczamy b
[tex]0 = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{4}+b\\\\0 = \frac{15}{8}+b\\\\\underline{b = -\frac{15}{8}}[/tex]
Ostatecznie szukane równanie prostej prostopadłej ma postać:
[tex]\boxed{y = \frac{5}{2}x -\frac{15}{8}}[/tex]
8.
Mamy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (-1,-6) oraz B = (4,4).
Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]y = ax = b[/tex]
Podstawiamy do tego równania współrzędne punktu A:
[tex]-6 = a\cdot(-1)+b[/tex]
oraz punktu B:
[tex]4 = a\cdot 4 + b[/tex]
W ten sposób otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi a oraz b:
[tex]-6 = -a+b\\4 = 4a+b[/tex]
Rozwiązujemy powyższy układ równań, np. odejmując równania stronami:
[tex]-6-4 = -a-4a\\\\-10 = -5a \ \ \ /:(-5)\\\\\underline{a = 2}[/tex]
Zatem np. z drugiego równania:
[tex]b = 4-4\cdot2 =4-8 = \underline{-4}[/tex]
Czyli ostatecznie szukane równanie prostej jest postaci:
[tex]\boxed{y = 2x-4}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Odpowiedź:
zad 7
y = - 2/5x- 2 ; P = ( 3/4 , 0 )
a₁ - współczynnik kierunkowy danej prostej = - 2/5
b₁ - wyraz wolny danej prostej = - 2
Warunkiem prostopadłości prostych jest :
a₁ * a₂ = - 1 , gdzie a₂ jest współczynnikiem kierunkowym prostej prostopadłej
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : ( - 2/5) = 1 * 5/2 = 5/2
Prosta prostopadła ma wzór :
y = a₂x + b₂ = 5/2x + b₂ ; P = ( 3/4 , 0 )
Ponieważ punkt P należy do tej prostej , to spełnia warunki równania
0 = 5/2 * 3/4 + b₂
0 = 15/8 + b₂
b₂ = - 15/8
y = (5/2)x - 15/8 = (2 1/2)x - 1 7/8
zad 8
A = (- 1 , - 6 ) , B= ( 4 , 4 )
xa = - 1 , xb = 4 , ya = - 6 , yb = 4
(xb -xa)(y - ya) = (yb -ya)(x -xa)
(4 + 1)(y + 6) = (4 + 6)(x+ 1)
5(y+ 6)= 10(x + 1) | : 5
y + 6 = 2(x + 1)
y = 2(x + 1) - 6
y = 2x + 2 - 6
y = 2x - 4
[tex]\huge\boxed{7. \ y = \frac{5}{2}x -\frac{15}{8}}\\\\\\\huge\boxed{8. \ y = 2x-4}[/tex]
7.
Proste prostopadłe
Niech będą dane dwie proste:
[tex]y = a_1x + b_1[/tex]
oraz
[tex]y = a_2x + b_2[/tex]
Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:
[tex]a_1\cdot a_2 = -1[/tex]
[tex]y = -\frac{2}{5}x - 2\\\\a_1 = -\frac{2}{5}\\\\a_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{5}}}=\frac{5}{2}, \ czyli:\\\\\underline{y = \frac{5}{2}x +b}\\\\P(\frac{3}{4},0) \ \ \rightarrow \ \ x = \frac{3}{4}, \ y = 0[/tex]
Współrzędne punktu podstawiamy do powyższego równania i obliczamy b
[tex]0 = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{4}+b\\\\0 = \frac{15}{8}+b\\\\\underline{b = -\frac{15}{8}}[/tex]
Ostatecznie szukane równanie prostej prostopadłej ma postać:
[tex]\boxed{y = \frac{5}{2}x -\frac{15}{8}}[/tex]
8.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
Mamy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (-1,-6) oraz B = (4,4).
Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]y = ax = b[/tex]
Podstawiamy do tego równania współrzędne punktu A:
[tex]-6 = a\cdot(-1)+b[/tex]
oraz punktu B:
[tex]4 = a\cdot 4 + b[/tex]
W ten sposób otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi a oraz b:
[tex]-6 = -a+b\\4 = 4a+b[/tex]
Rozwiązujemy powyższy układ równań, np. odejmując równania stronami:
[tex]-6-4 = -a-4a\\\\-10 = -5a \ \ \ /:(-5)\\\\\underline{a = 2}[/tex]
Zatem np. z drugiego równania:
[tex]b = 4-4\cdot2 =4-8 = \underline{-4}[/tex]
Czyli ostatecznie szukane równanie prostej jest postaci:
[tex]\boxed{y = 2x-4}[/tex]