Por favor, es urgente Calcular el siguiente límite al infinito (factorizar y racionalizar) (x^2-5x+3.... Question from @jjlealo

April 2021 1 68 Report

Por favor, es urgente Calcular el siguiente límite al infinito (factorizar y racionalizar) (x^2-5x+3)/√(x^4-2x^2-1)

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Para poder resolver este ejercicio de límites que tienden hacia el infinito necesitamos recordar la siguiente propiedad.

$\boxed{\boldsymbol{\mathsf{ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{k}{x^n}=0}}}$

Siendo "k" y "n" constantes, entonces pasaremos a resolver el ejercicio

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{x^2-5x+3}{\sqrt{x^4-2x^2-1}}\right)}$

Dividiremos tanto al numerador y al denominado entre x²

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2-5x+3}{\boldsymbol{x^2}}}{\dfrac{\sqrt{x^4-2x^2-1}}{\boldsymbol{x^2}}}\right)}$

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{5x}{x^2}+\dfrac{3}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2}\cdot \sqrt{x^4-2x^2-1}}{}}\right)}$

Pero recordemos que

$\mathsf{\dfrac{1}{x^2} =\sqrt{\dfrac{1}{x^4}}}$

Reemplazamos en el límite

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}-\dfrac{5x\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}}{x^{2\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}}}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^4}}\cdot \sqrt{x^4-2x^2-1}}{}}\right)}$

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4-2x^2-1}{x^4}}}}{}}\right)}$

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4}{x^4}-\dfrac{2x^2}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{x^4\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^4\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}-\dfrac{2x^2\!\!\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.4cm}}{~}}{x^{4\!\!\!\!\!\frac{\hspace{0.2cm}}{~}^2}}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{x^2}}{\sqrt{1-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}}}}{}}\right)}$

Aplicamos la propiedad que mencionamos arriba

$\mathsf{\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{1-\left(\not\!\!\dfrac{5}{x}\right)^0+\left(\not \!\!\dfrac{3}{x^2}\right)^0}{\sqrt{1-\left(\not\!\!\dfrac{2}{x^2}\right)^0-\left(\not\!\!\dfrac{1}{x^4}\right)^0}}}{}}\right)}$