DAJĘ NAJ
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²+✓3mx+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunki x1/x2 + x2/x1> -1/x1*x2 oraz x1*x2 nie równające się 0
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²+✓3mx+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 spełniające warunki x1/x2 + x2/x1> -1/x1*x2 oraz x1*x2 nie równające się 0
Rozwiążmy to zadanie krok po kroku:
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jeśli jego delta jest dodatnia:
Δ = b² - 4ac > 0,
gdzie a = 1, b = √(3m), c = m + 1.
Podstawiając wartości do wzoru na deltę, otrzymujemy:
(√(3m))² - 4(1)(m + 1) > 0,
3m - 4m - 4 > 0,
-m > 4,
m < -4.
Wiemy, że x1 i x2 są pierwiastkami równania, więc:
x1 + x2 = -b/a = -√(3m),
x1 * x2 = c/a = m + 1.
Teraz musimy znaleźć warunek na spełnienie nierówności x1/x2 + x2/x1 > -1/(x1*x2).
Podstawiamy wartości x1 i x2:
(x1/x2) + (x2/x1) > -1/(x1*x2),
(x1² + x2²) / (x1*x2) > -1/(x1*x2),
x1² + x2² < -1.
Teraz możemy podstawić wartości x1 i x2 jako funkcję m:
x1² + x2² = (-√(3m))² - 2(m + 1) = 3m - 2m - 2 = m - 2.
Podstawiając do nierówności, otrzymujemy:
m - 2 < -1,
m < 1.
Podsumowując, warunki dla parametru m to:
-4 < m < 1.