Question

Oblicz pole ograniczone krzywymi i naszkicuj wykres funkcji
y = 1/x, y=x, y=x-3

Answer 1

Verified answer

Patrz na rysunek w załączniku.

Pole szukanego obszaru można obliczyć, dzieląc go na trzy części i licząc pole każdej części oddzielnie. Wtedy pole szukanego obszaru można wyrazić następująco (gdzie [tex]x_A,x_B,x_C,x_D[/tex] to współrzędne [tex]x[/tex] kolejno punktów [tex]A,B,C,D[/tex]):

[tex]\displaystyle\\P=\int \limits_{x_A}^{x_B}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)+\int \limits_{x_B}^{x_C}(x-(x-3))+\int \limits_{x_C}^{x_D}\left(\dfrac{1}{x}-(x-3)\right)\\\\P=\left[\dfrac{x^2}{2}-\ln|x|\right]_{x_A}^{x_B}+\int \limits_{x_B}^{x_C}(x-x+3)+\int \limits_{x_C}^{x_D}\left(\dfrac{1}{x}-x+3\right)\\\\P=\left[\dfrac{x^2}{2}-\ln|x|\right]_{x_A}^{x_B}+\int \limits_{x_B}^{x_C}3+\left[\ln|x|-\dfrac{x^2}{2}+3x{\right]_{x_C}^{x_D}[/tex]

[tex]P=\left[\dfrac{x^2}{2}-\ln|x|\right]_{x_A}^{x_B}+\left[3x\right]_{x_B}^{x_C}+\left[\ln|x|-\dfrac{x^2}{2}+3x{\right]_{x_C}^{x_D}\\\\[/tex]

Na tym się zatrzymam i przejdę do obliczania wartości [tex]x_A,x_B,x_C,x_D[/tex] (można to oczywiście było zrobić najpierw, ale ja akurat zdecydowałem na taką kolejność).

• [tex]x_A[/tex] i [tex]x_C[/tex]
  
  [tex]x=\dfrac{1}{x}\qquad(x\not=0)\\\\x^2=1\\x=-1 \vee x=1[/tex]
  
  Zatem [tex]x_A=-1[/tex] i [tex]x_C=1[/tex]

• [tex]x_B[/tex] i [tex]x_D[/tex]
  
  [tex]x-3=\dfrac{1}{x}\qquad(x\not=0)\\\\x^2-3x=1\\x^2-3x-1=0\\\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=9+4=13\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{13}}\\\\x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{13}}{2\cdot1}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\\\\x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{13}}{2\cdot1}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}[/tex]
  
  Zatem [tex]x_B=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}[/tex] i [tex]x_D=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}[/tex]

A więc

[tex]P=\dfrac{\left(\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\right)^2}{2}-\ln\left|\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\right|-\left(\dfrac{(-1)^2}{2}-\ln\left|-1\right|\right)+3\cdot 1-3\cdot \left(\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\right)+\\+\ln\left|\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right|-\dfrac{\left(\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right)^2}{2}+3\cdot \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}-\left(\ln|1|-\dfrac{1^2}{2}+3\cdot 1\right)[/tex]

[tex]P=\dfrac{\dfrac{9-6\sqrt{13}+13}{4}}{2}-\ln\left(\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}-\ln1\right)+3-\dfrac{9-3\sqrt{13}}{2}+\\+\ln\left(\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\right)-\dfrac{\dfrac{9+6\sqrt{13}+13}{4}}{2}+\dfrac{9+3\sqrt{13}}{2}-\left(\ln1-\dfrac{1}{2}+3\right)[/tex]

[tex]P=\dfrac{22-6\sqrt{13}}{8}+\ln\left(\dfrac{\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}}{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\right)-\dfrac{1}{2}+3+\dfrac{6\sqrt{13}}{2}-\dfrac{22+6\sqrt{13}}{8}-\left(-\dfrac{1}{2}+3\right)[/tex]

[tex]P=-\dfrac{12\sqrt{13}}{8}+\dfrac{24\sqrt{13}}{8}+\ln\left(\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}-3}\right)\\\\P=\dfrac{12\sqrt{13}}{8}+\ln\left(\dfrac{3+\sqrt{13}}{\sqrt{13}-3}\right)\\\\P=\dfrac{3\sqrt{13}}{2}+\ln\left(\dfrac{3+\sqrt{13}}{\sqrt{13}-3}\right)\approx7,8[/tex]