Question

Sea P (a,b) un punto en la parte del primer cuadrante de la curva y=1/x suponga que la recta tangente en p interseca al eje x en A. Demuestre que el triangulo AOP es isoceles y determine su area.

Answer 1

Solución:

a) La curva de ecuación "y = 1/x"
b) La posición del punto "P(a, b)" sobre la curva "y=1/x" en dos ejemplos distintos.
c) La recta tangente en P
d) La posición del punto "A", que cambia al cambiar "P" (pues cambia la recta tangente)
e) Un punto auxiliar "Q"

Te piden demostrar:
1º) Que SIEMPRE el triángulo AOP es isósceles (o sea que tiene dos lados iguales)
2º) Que el área definida por AOP vale SIEMPRE "1" (para mí: éste es el resultado más interesante)
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Consideremos "y(x) = 1 / x", y sea "a" una abscisa cualquiera. Entonces se cumple:

b = y(a) = 1/a ... ❶
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Recuerda que la recta que pasa por un punto genérico P(a, b) con pendiente "m" es:

y - b = m (x - a)

Para hallar la pendiente "m" debemos derivar la función y calcularla en "x=a". O sea:
y = 1/x ⇒ [derivamos]
y'(x) = -1/x² ⇒ [y calculada en "x=a" resulta]

m = y '(a) = -1 / a² ... ❷
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Reemplazando ❶ y ❷ en
y - b = m (x - a)

obtenemos:
y - (1/a) = (-1 / a²)•(x - a) ... ❸
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❸ es la ecuación de nuestra recta tangente en P. Para hallar la abscisa del punto "A" de la gráfica, hacemos "y=0" en ❸ resultando:

X = 2a ⇒ [por lo que podemos escribir]

A = (2a, 0) ... ❹
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Ya tenemos toda la información que necesitábamos. Por lo tanto deducimos:

1º) Comparemos los triángulos OQP y AQP (demostraremos que son iguales pues tienen dos lados y el ángulo comprendido igual):

-> Tienen un lado común (QP) y por lo tanto igual.

-> Por hipótesis OQ mide "a". Según ❹, OA mide "2a". Es obvio, entonces, que QA también mide "a".
Luego, los lados OQ y QA son iguales.

-> El ángulo de vértice Q en ambos triángulos es rectángulo.

Resumiendo: dos lados iguales y el ángulo comprendido igual, determinan triángulos iguales.
Y si los triángulos OQP y AQP son iguales, entonces los lados OP y AP son iguales entre sí.

Finalmente, si en el triángulo AOP dos de sus lados (OP y AP) son iguales, entonces se trata de un triángulo isósceles.
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2º) Calculemos el área determinada por el triángulo AOP utilizando la conocida fórmula:

Área = Base x Altura / 2

Sabemos que:
Base = OA = [por ❹] = 2a
Altura = PQ = b = [por ❶] = 1/a

Entonces:
Área = Base x Altura / 2 = [reemplaza] = (2a) x (1/a) / 2 ⇒

Y simplificando:

Área = 1
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COMENTARIO.
Realmente. cuando ya hay una buena respuesta no acostumbro a incorporar la mía.

Sin embargo como a la respuesta de " amigo" le ha faltado llegar a la importante conclusión que el área que te piden es CONSTANTE e igual a "1", me pareció útil mostrar este análisis.

Espero haberte ayudado. Suerte.