Question

Wiedząc że x>0 i x²+ 1/x²=7 oblicz wartość wyrażeń
x + 1/x

x³ + 1/x³

x⁵+ 1/x⁵

Liczę na pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami i obliczeniami, a nie samą odpowiedź

Answer 1

Verified answer

Rozwiązanie:

[tex]$x^{2}+\frac{1}{x^2}=7[/tex]

[tex]x > 0[/tex]

Mamy:

[tex]$\Big(x+\frac{1}{x}\Big)^{2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}=2+x^{2}+\frac{1}{x^2}=2+7=9[/tex]

Pierwiastkujemy obustronnie, nie musimy dawać modułu bo:[tex]$x > 0 \implies x+\frac{1}{x} > 0[/tex]

Stąd:

[tex]$x+\frac{1}{x} =3[/tex]

Dalej:

[tex]$\Big(x+\frac{1}{x}\Big)^{3}=x^3+\frac{1}{x^3}+3x+\frac{3}{x}=x^3+\frac{1}{x^3} +3\Big(x+\frac{1}{x}\Big)=x^3+\frac{1}{x^3}+3 \cdot 3=[/tex]

[tex]$=x^3+\frac{1}{x^3}+9[/tex]

Stąd:

[tex]$3^{3}=x^3+\frac{1}{x^3}+9 \iff x^3+\frac{1}{x^3}=27-9=18[/tex]

Dalej:

Zauważyć można, że:

[tex]$x^5+\frac{1}{x^5}=\Big(x^3+\frac{1}{x^3}\Big)\Big(x^2+\frac{1}{x^2}\Big)-\Big(x+\frac{1}{x} \Big)=18 \cdot 7 -3=123[/tex]

I na koniec ogólniejsza sztuczka:

[tex]$\Big(x^n+\frac{1}{x^n}\Big)\Big(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\Big)-\Big(x+\frac{1}{x}\Big)=x^{2n-1}+\frac{1}{x^{2n-1}}[/tex]

Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie: