X fa ayudenme Tema: Progresiones Maria ingresa a un plan de ahorro mensual, cada mes ahorra $20 mas.... Question from @alexc3806

October 2018 1 240 Report

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Tema: Progresiones
Maria ingresa a un plan de ahorro mensual, cada mes ahorra $20 mas que el mes anterior. Si el plan dura un año, y al final sus ahorro suman $1680. determina

¿ Cuanto ahorro el primer mes?
¿ cuanto ahorro el ultimo mes?

preju Es una aplicación práctica de progresiones aritméticas (PA) puesto que cada mes ahorra 20 más que el anterior, luego esa cantidad será la diferencia (d) entre lo que ahorra un mes y otro, o sea, diferencia entre términos consecutivos.

Si consigues pillarle el truco a identificar lo que dice el texto y trasladarlo a datos de la progresión, tienes casi todo hecho, veamos:

Si el plan dura un año y ahorra cada mes, la PA tiene 12 términos que son los meses de ese año por lo tanto, n = 12

Finalmente sabemos también el ahorro total, suma de lo que ahorra cada mes, o sea que $S_n$ = 1.680

Lo que nos pide el ejercicio es el primero y el último término de la progresión, o sea, $a_1$ y $a_{12}$

Hay que apoyarse en dos fórmulas:
1ª) La del término general ... $a_n=a_1+(n-1)*d$ ... sustituyendo...

$a_{12}=a_1+(12-1)*20$ .... $a_{12}=a_1+220$

2ª) La de suma de términos.. $S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$
...sustituyendo...

$1680 = \frac{(a_1+ a_{12} )*12}{2}$ ...

$1680=6*(a_1+ a_{12} ) \\ 280=a_1+ a_{12} \\ a_{12}=280-a_1$

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
$a_{12}=a_1+220$
$a_{12}=280-a_1$

Resolviendo por reducción:

$2 a_{12} =220+280 \\ \\ a_{12} = \frac{500}{2}=250$

250 es lo que ahorró en el último mes.

Despejo a₁ en la primera y sustituyo a₁₂ por su valor...
$a_1=250-220$ = 30 es lo que ahorró el primer mes.

Saludos.

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