Question

Nilai * dari * lim x -> 0 ((x ^ 2 - 1) * sin 6x)/(x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x) =​

Answer 1

Jawaban:

Untuk mencari nilai dari limit tersebut, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau memanfaatkan sifat-sifat limit. Mari kita gunakan aturan L'Hôpital.

Langkah pertama adalah menghitung turunan dari pembilang dan penyebut limit saat x mendekati 0.

Turunan pembilang:

f'(x) = (2x - 0) * sin(6x) + (x^2 - 1) * (6cos(6x))

= 2x * sin(6x) + 6x^2 * cos(6x) - sin(6x)

Turunan penyebut:

g'(x) = (3x^2 + 6x + 2) * 1 + (x^3 + 3x^2 + 2x) * 0

= 3x^2 + 6x + 2

Selanjutnya, kita hitung limit dari turunan pembilang dan turunan penyebut saat x mendekati 0.

Limit turunan pembilang:

lim x -> 0 (2x * sin(6x) + 6x^2 * cos(6x) - sin(6x))

= 0 * sin(0) + 0 * cos(0) - sin(0)

= 0

Limit turunan penyebut:

lim x -> 0 (3x^2 + 6x + 2)

= 0^2 + 0 * 6 + 2

= 2

Karena limit turunan pembilang dan turunan penyebut adalah bilangan terhingga, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan kedua pembilang:

f''(x) = 2 * sin(6x) + 12x * cos(6x) + 12x * cos(6x) - 6 * sin(6x)

= 4 * sin(6x) + 24x * cos(6x)

Turunan kedua penyebut:

g''(x) = 6x + 6

Selanjutnya, kita hitung limit dari turunan kedua pembilang dan turunan kedua penyebut saat x mendekati 0.

Limit turunan kedua pembilang:

lim x -> 0 (4 * sin(6x) + 24x * cos(6x))

= 4 * sin(0) + 24 * 0 * cos(0)

= 0

Limit turunan kedua penyebut:

lim x -> 0 (6x + 6)

= 0 + 6

= 6

Karena limit turunan kedua pembilang dan turunan kedua penyebut adalah bilangan terhingga, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan ketiga pembilang:

f'''(x) = 24 * cos(6x) - 24 * sin(6x)

Turunan ketiga penyebut:

g'''(x) = 6

Selanjutnya, kita hitung limit dari turunan ketiga pembilang dan turunan ketiga penyebut saat x mendekati 0.

Limit turunan ketiga pembilang:

lim x -> 0 (24 * cos(6x) - 24 * sin(6x))

= 24 * cos(0) - 24 * sin(0)

= 24

Limit turunan ketiga penyebut:

lim x -> 0 (6)

= 6

Karena limit turunan ketiga pembilang dan turunan ketiga penyebut adalah bilangan terhingga, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan keempat pembilang:

f''''(x) = -24 * sin(6x) - 24 * cos(6x)

Turunan keempat penyebut:

g''''(x) = 0

Selanjutnya, kita hitung limit dari turunan keempat pembilang dan turunan keempat penyebut saat x mendekati 0.

Limit turunan keempat pembilang:

lim x -> 0 (-24 * sin(6x) - 24 * cos(6x))

= -24 * sin(0) - 24 * cos(0)

= -24

Limit turunan keempat penyebut:

lim x -> 0 (0)

= 0

Karena limit turunan keempat pembilang dan turunan keempat penyebut adalah bilangan terhingga, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan kelima pembil

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Semoga bermanfaat dan membantu