Question

Wyznacz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punkty przegięcia funkcji.
f(x) = (x^2-3) / (x-2)

Answer 1

Odpowiedź:

Funkcja jest wypukła w przedziale [tex](2,+\infty)[/tex], a wklęsła w przedziale [tex](-\infty,2)[/tex]. Funkcja nie ma punktów przegięcia.

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}\\\\D=\mathbb{R}-\{2\}[/tex]

Policzmy pierwszą pochodną.

[tex]f'(x)=\frac{(x^2-3)'*(x-2)-(x^2-3)*(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x*(x-2)-(x^2-3)*1}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+3}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}[/tex]

Policzmy drugą pochodną.

[tex]f''(x)=\frac{(x^2-4x+3)'*(x-2)^2-(x^2-4x+3)*[(x-2)^2]'}{(x-2)^4}=\frac{(2x-4)(x-2)^2-(x^2-4x+3)*2(x-2)*1}{(x-2)^4}=\\=\frac{2(x-2)(x^2-4x+4)-2(x^2-4x+3)(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2(x^2-4x+4)-2(x^2-4x+3)}{(x-2)^3}=\frac{2(x^2-4x+4-x^2+4x-3)}{(x-2)^3}=\\=\frac{2*1}{(x-2)^3}=\frac{2}{(x-2)^3}[/tex]Funkcja jest wypukła, gdy druga pochodna jest dodatnia, a wklęsła, gdy druga pochodna jest ujemna.

Sprawdźmy, kiedy funkcja jest wypukła.

[tex]f''(x) > 0\\\frac{2}{(x-2)^3} > 0\\2(x-2)^3 > 0\ |:2\\(x-2)^3 > 0\\x-2 > 0\\x > 2\\x\in(2,+\infty)[/tex]

Sprawdźmy, kiedy funkcja jest wklęsła.

[tex]f''(x) < 0\\x < 2\\x\in(-\infty,2)[/tex]

Funkcja ma punkt przegięcia tam, gdzie druga pochodna jest równa 0 i zmienia się z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie. Sprawdźmy, czy funkcja ma punkty przegięcia.

[tex]f''(x)=0\\\frac{2}{(x-2)^3}=0\ |*(x-2)^3\\2=0[/tex]

sprzeczność

Funkcja nie ma punktów przegięcia.