Question

D. Soal Tentukan : integrate (x - 7)/((x - 5) ^ 2) + 3/(x ^ 2 + 4) dx​

Answer 1

Jawab:

Jadi, hasil integral tersebut adalah ln|x - 5| + 2/(x - 5) + (3/2) ln|x² + 4| + C, di mana C adalah konstanta integrasi.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan integral tersebut, kita perlu membagi integral menjadi dua bagian yang berbeda:

∫(x - 7)/((x - 5)²) dx + ∫3/(x² + 4) dx

Pertama, kita akan menyelesaikan integral pertama:

∫(x - 7)/((x - 5)²) dx

Kita dapat melakukan substitusi dengan memilih u = x - 5, sehingga dx = du.

Ketika x = 5, maka u = 5 - 5 = 0.

Ketika x → ∞, maka u → ∞.

Dengan substitusi ini, integral pertama menjadi:

∫(u - 2)/u² du

Menggunakan metode pecahan parsial (partial fractions), kita dapat membagi pecahan menjadi:

∫(u - 2)/u² du = ∫(1/u) du - ∫(2/u²) du

= ln|u| + 2/u + C

= ln|x - 5| + 2/(x - 5) + C1

Selanjutnya, kita akan menyelesaikan integral kedua:

∫3/(x² + 4) dx

Kita dapat menggunakan substitusi dengan memilih v = x² + 4, sehingga dx = (1/2x) dv.

Ketika x → ±∞, maka v → ±∞.

Dengan substitusi ini, integral kedua menjadi:

∫(3/2x) dv

= (3/2) ∫(1/x) dv

= (3/2) ln|v| + C

= (3/2) ln|x² + 4| + C2

Kombinasi kedua integral tersebut menjadi:

∫(x - 7)/((x - 5)²) + 3/(x² + 4) dx

= ln|x - 5| + 2/(x - 5) + (3/2) ln|x² + 4| + C

Jadi, hasil integral tersebut adalah ln|x - 5| + 2/(x - 5) + (3/2) ln|x² + 4| + C, di mana C adalah konstanta integrasi.