Question

1/(x+1) + 1/(x^2+1) ≤ 2/(x-1)
Proszę o pomoc !!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

x∈ (-∝,-1) ∪(1,∝)

Nierówność ze wzorem skróconego mnożenia.

W zadaniu będziemy korzystać z następującego wzoru skróconego mnożenia:

[tex](a+b)*(a-b)=a^2-b^2[/tex]

Krok 1

Wyznaczmy dziedzinę nierówności:

[tex]x+1\neq 0\\x\neq -1[/tex]

oraz

[tex]x-1\neq 0\\x\neq 1[/tex]

Dziedziną są więc wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem -1 i 1.

Krok 2

Przerzucimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę:

[tex]\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2+1}\leq 0[/tex]

Najpierw sprowadzimy do wspólnego mianownika dwa pierwsze wyrazy:

[tex]\frac{1*(x-1)}{(x+1)*(x-1)}- \frac{1*(x+1)}{(x-1)*(x+1)}+\frac{1}{x^2+1}\leq 0\\\frac{x-1}{x^2-1}- \frac{x+1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1}\leq 0\\\frac{x-1-x-1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1}\leq 0\\\frac{-2}{x^2-1}+\frac{1}{x^2+1}\leq 0[/tex]

Krok 3

Sprowadzimy do wspólnego mianownika:

[tex]\frac{-2*(x^2+1)}{(x^2-1)*(x^2+1)}+\frac{1*(x^2-1)}{(x^2-1)*(x^2+1)}\leq 0\\\frac{-2x^2-2}{x^4-1}+\frac{x^2-1}{x^4-1}\leq 0\\\frac{-2x^2-2+x^2-1}{x^4-1}\leq 0\\\frac{-x^2-3}{x^4-1}\leq 0/*(-1)\\\frac{x^2+3}{x^4-1}\geq 0[/tex]

Krok 4

Widzimy, że licznik nierówności jest zawsze większy od zera. Aby  nierówność była spełniona, wystarczy aby mianownik był większy od zera:

[tex]x^4-1 > 0[/tex]

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia przytoczonego na początku zadania:

[tex](x^2-1)*(x^2+1) > 0\\(x-1)*(x+1)*(x^2+1) > 0[/tex]

Krok 5

Wyliczymy pierwiastki nierówności:

[tex]x-1=0\\x=1[/tex]

oraz

[tex]x+1=0\\x=-1[/tex]

Rysujemy wykres paraboli (w załączniku):

Krok 6

Odczytujemy z wykresu argumenty, dla których wartości funkcji są większe od zera:

x∈ (-∝,-1) ∪(1,∝)

#SPJ1