Diketahui f (x) merupakan fungsi berderajat 3 yang memenuhi lim mendekati 0 f (x) / x=1, mendekati 1.... Question from @Athesa

June 2019 1 676 Report

Diketahui f (x) merupakan fungsi berderajat 3 yang memenuhi lim mendekati 0 f (x) / x=1, mendekati 1 f (x) / x-1=1. Tentukanlah rumus fungsi f (x) …

hakimium

Verified answer

Kelas : XI
Pelajaran : Matematika
Kategori : Limit Aljabar
Kata Kunci : fungsi, berderajat, tiga, mendekati, rumus, terdefinisikan

Kode : 11.2.7 [Kelas 11 Matematika Bab 7 - Limit]

Pembahasan

Diketahui fungsi berderajat tiga f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Dari soal dapat ditulis sebagai berikut:
$\lim_{x \to \ 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ... [persamaan-1]
dan,
$\lim_{x \to \ 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ... [persamaan-2]

Kali ini kita pilih Dalil L'Hospital atau turunan dalam mengolah kedua persamaan limit tersebut.

Pengerjaan persamaan-1

⇔ $\lim_{x \to \ 0} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 0} \frac{3ax^2+2bx+c}{1}=1$ ⇒ penggunaan Dalil L'Hospital
⇔ 3a(0)² + 2b(0) + c = 1
Diperoleh $\boxed{c=1}$

Pengerjaan persamaan-2

⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-1}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{3ax^2+2bx+c}{1}=1$ ⇒ penggunaan Dalil L'Hospital
⇔ 3a(1)² + 2b(1) + c = 1
Diperoleh $\boxed{3a+2b+c=1}$

Substitusikan nilai c
3a+ 2b + 1 = 1
Diperoleh $\boxed{3a+2b=0}$ ... [persamaan-3]

Sekarang, perhatikan bahwa pada soal ini sebuah limit dikatakan belum memiliki nilai atau tak terdefinisikan atau bentuk tak tentu, apabila hasilnya $\ \frac{0}{0}$ .

Olah kembali persamaan-1 sebagai berikut:

⇔ $\lim_{x \to \ 0} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}= \frac{0}{0}$
⇔ $\frac{a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d}{0}= \frac{0}{0}$
⇔ $a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d = 0$
Diperoleh $\boxed{d = 0}$

Olah kembali persamaan-2 sebagai berikut:

⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-1}=\frac{0}{0}$
⇔ $\frac{a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d}{1-1}= \frac{0}{0}$
⇔ $a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d = 0$
Diperoleh $\boxed{a + b + c + d = 0}$

Substitusikan c = 1 dan d = 0 ke dalam a + b + c + d = 0.
⇔ a + b + 1 + 0 = 0
Diperoleh $\boxed{a + b = -1}$ .. [persamaan-4]

Eliminasikan persamaan-3 dan persamaan-4

3a + 2b = 0
a + b = -1 ⇒ kalikan 2 agar variabel b sama

Susun ulang
3a + 2b = 0
2a + 2b = -2
--------------- ( - )
Diperoleh $\boxed{a = 2 \ dan \ b = -3}$

Akhirnya seluruh komponen fungsi f(x) telah lengkap, yakni:
$\boxed{a=2, \ b=-3, \ c=1, \ d=0}$

Kesimpulan ⇒ rumus fungsi $\boxed{f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x}$

----------------------------------------

Pembuktian terbalik terhadap persamaan-1
⇔ $\lim_{x \to \ 0} \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 0} \frac{x(2x^2 - 3x + 1)}{x}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 0} (2x^2 - 3x + 1)=1$
⇔ $2(0)^2 - 3(0) + 1=1$
⇔ 1 = 1, terbukti

Pembuktian terbalik terhadap persamaan-2
⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x-1}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{x(2x^2 - 3x + 1)}{x-1}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 1} \frac{x(2x - 1)(x - 1)}{x-1}=1$
⇔ $\lim_{x \to \ 1} x(2x - 1)=1$
⇔ $(1)[2(1) - 1]=1$
⇔ 1 = 1, terbukti
_______________________________

Pelajari soal-soal limit lainnya
brainly.co.id/tugas/5868905
brainly.co.id/tugas/9370850
brainly.co.id/tugas/2112983