Question

WYZNACZNIKI- MACIERZE
DAM DUZO PTK
Wyznacz wartość C tak by znajdowała się ona na jednej linii. A=(1,4) B=(-2,3) C=(p, p^2+1)
trzeba obliczyc i narysowac współrzędne!!!​

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]C_1=\left(\frac{1-\sqrt{97}}{6},\frac{67-\sqrt{97}}{18}\right)\\C_2=\left(\frac{1+\sqrt{97}}{6}},\frac{67+\sqrt{97}}{18}\right)[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]A=(1,4)\qquad B=(-2,3)\qquad C=(p,p^2+1)[/tex]

Wszystkie trzy punkty mają leżeć na jednej prostej. Znajdźmy tę prostą z punktów A i B.

Szukamy prostej postaci:

[tex]y=ax+b[/tex]

Współczynnik kierunkowy policzymy ze wzoru.

[tex]a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-4}{-2-1}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}[/tex]

Wyraz wolny b policzymy, podstawiając współrzędne np. punktu A za x i y.

[tex]4=\frac{1}{3}*1+b\\4=\frac{1}{3}+b\\4-\frac{1}{3}=b\\b=3\frac{2}{3}[/tex]

Zatem prosta ma postać:

[tex]y=\frac{1}{3}x+3\frac{2}{3}[/tex]

Punkt C ma leżeć na tej prostej, więc musi spełniać jej równanie. Zatem

[tex]p^2+1=\frac{1}{3}p+3\frac{2}{3}\ |*3\\3p^2+3=p+11\\3p^2-p-8=0\\\Delta=(-1)^2-4*3*(-8)=1+96=97\\\sqrt\Delta=\sqrt{97}\\p_1=\frac{1-\sqrt{97}}{2*3}=\frac{1-\sqrt{97}}{6}\\p_2=\frac{1+\sqrt{97}}{2*3}=\frac{1+\sqrt{97}}{6}[/tex]

Policzmy drugie współrzędne punktu C.

[tex]p_1^2+1=\left(\frac{1-\sqrt{97}}{6}\right)^2+1=\frac{1-2\sqrt{97}+97}{36}+\frac{36}{36}=\frac{134-2\sqrt{97}}{36}=\frac{67-\sqrt{97}}{18}\\p_2^2+1=\left(\frac{1+\sqrt{97}}{6}\right)^2+1=\frac{1+2\sqrt{97}+97}{36}+\frac{36}{36}=\frac{134+2\sqrt{97}}{36}=\frac{67+\sqrt{97}}{18}[/tex]

Zatem są dwa punkt C spełniające warunki zadania:

[tex]C_1=\left(\frac{1-\sqrt{97}}{6},\frac{67-\sqrt{97}}{18}\right)\\C_2=\left(\frac{1+\sqrt{97}}{6}},\frac{67+\sqrt{97}}{18}\right)[/tex]