Question

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego. Proszę o zrobienie dwóch zadań ​

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{a_n=2^{n-1}}[/tex]

Ciąg geometryczny

Ciągiem geometrycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego q razy.

[tex]\huge\boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]

Jeżeli dany jest k wyraz ciągu, gdzie k<n, to n-ty wyraz tego ciągu wyrażamy wzorem:

[tex]\huge\boxed{a_n=a_k\cdot q^{n-k}}[/tex]

Zadanie:

Wyznacz wzór oglny cigu geometrycznego wiedząc, że a₂=2 oraz a₇=64

Rozwiazanie:

Wyprowadzamy wzór na 7 wyraz ciągu geometrycznego z użyciem 2 wyrazu ciągu.

[tex]a_7=a_2\cdot q^{7-2}\\a_7=a_2\cdot q^5[/tex]

Podstawiamy wartości:

[tex]2\cdot q^5=64 |:2\\q^5=32\\q^5=2^5\\\boxed{q=2}[/tex]

Obliczamy pierwszy wyraz ciągu:

[tex]a_1\cdot q=a_2\\a_1\cdot 2=2 |:2\\\boxed{a_1=1}[/tex]

Wyprowadzamy wzór ogólny ciągu:

[tex]a_n=1\cdot 2^{n-1}\\\boxed{a_n=2^{n-1}}[/tex]