Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc, że jej zbiorem wartości jest przedział (-∞, 6>, największa wartość funkcji f w przedziale jest równa 4, a osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu x+3=0.
daje najj!
daje najj!
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej, skorzystamy z informacji o jej własnościach.
1. **Zbiór wartości:**
- Zbiór wartości to przedział (-∞, 6>. Oznacza to, że funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do 6.
2. **Największa wartość funkcji:**
- Największa wartość funkcji wynosi 4.
3. **Oś symetrii:**
- Oś symetrii ma równanie \(x+3=0\). Oznacza to, że oś symetrii przechodzi przez punkt (-3, h), gdzie \(h\) to wspomniana największa wartość funkcji.
Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej to \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), gdzie \((p, q)\) to współrzędne wierzchołka parabolii.
Wiedząc, że oś symetrii przechodzi przez (-3, h), gdzie h to największa wartość funkcji, a zbiór wartości to (-∞, 6>, możemy ustalić, że \(p = -3\) i \(q = 4\).
Wzór funkcji kwadratowej to zatem:
\[ f(x) = a(x + 3)^2 + 4 \]
Teraz musimy znaleźć wartość parametru \(a\). Skoro oś symetrii przechodzi przez punkt (-3, 4), możemy to wykorzystać:
\[ f(-3) = a(-3 + 3)^2 + 4 \]
\[ 4 = a(0)^2 + 4 \]
\[ 4 = 4a \]
\[ a = 1 \]
Ostateczny wzór funkcji kwadratowej to:
\[ f(x) = (x + 3)^2 + 4 \]