Question

Wyznacz wzór ciągu geometrycznego, w którym suma wyrazów piątego i trzeciego wynosi 272, a suma wyrazów pierwszego i trzeciego jest równa 17.

Answer 1

Odpowiedź:

Niech pierwszy wyraz ciągu geometrycznego będzie oznaczony przez a, a iloraz przez q.

Wiadomo, że suma pięciu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

S5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 = a(1+q+q^2+q^3+q^4)

Z kolei suma trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

S3 = a + aq + aq^2

Stosując te wzory i zastępując dane, otrzymujemy układ równań:

a(1+q+q^2+q^3+q^4) = 272

a + aq + aq^2 = 17

Możemy wykorzystać drugie równanie do wyznaczenia wartości a w zależności od q:

a = 17 / (1+q+q^2)

Podstawiając to wyrażenie do pierwszego równania, otrzymujemy:

17 / (1+q+q^2) * (1+q+q^2+q^3+q^4) = 272

Po uproszczeniu i przekształceniach:

17 (1+q^3) = 272 (1+q+q^2)^2

Teraz możemy skorzystać z własności geometrycznych i zapisać:

1+q+q^2 = (1-q^3) / (1-q)

Podstawiając do wzoru na a i rozwiązując równanie, ostatecznie otrzymujemy wzór ciągu geometrycznego:

an = 17 [(1-q^3) / (1-q)] / (1+q+q^2+q^3+q^4) * q^(n-1)

Szczegółowe wyjaśnienie: