Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których liczby: x = 9 + m, y = 4m − 1,
z = 6m − 10 można ustawić w takiej kolejności, aby tworzyły ciąg arytmetyczny.
z = 6m − 10 można ustawić w takiej kolejności, aby tworzyły ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź:
[tex]m\in\left\{1,3\frac{5}{8},4\right\}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x=9+m\\y=4m-1\\z=6m-10[/tex]
Są 3 przypadki w zależności od tego, która liczba będzie pośrodku. Ułożenie pozostałych dwóch liczb nie ma znaczenia. W obliczeniach skorzystamy z tw. o sąsiadach dla ciągu arytmetycznego.
Przypadek 1.
Pośrodku jest x.
[tex]x=\frac{y+z}{2}\\9+m=\frac{4m-1+6m-10}{2}\\9+m=\frac{10m-11}{2}\ |*2\\18+2m=10m-11\\2m-10m=-11-18\\-8m=-29\ |:(-8)\\m=\frac{29}{8}\\m=3\frac{5}{8}[/tex]
Przypadek 2.
Pośrodku jest y.
[tex]y=\frac{x+z}{2}\\4m-1=\frac{9+m+6m-10}{2}\\4m-1=\frac{7m-1}{2}\ |*2\\8m-2=7m-1\\8m-7m=-1+2\\m=1[/tex]
Przypadek 3.
Pośrodku jest z.
[tex]z=\frac{x+y}{2}\\6m-10=\frac{9+m+4m-1}{2}\\6m-10=\frac{5m+8}{2}\ |*2\\12m-20=5m+8\\12m-5m=8+20\\7m=28\ |:7\\m=4[/tex]