Question

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie (3 - m)x² + (m - 2)x + m - 5 = 0 ma dwa różne rozwiązania ujemne.

Answer 1

Odpowiedź:

1° )      3 - m  ≠ 0   ⇒   m  ≠ 3

--------------------------------------------

Δ = ( m - 2)² - 4*( 3 - m )*( m - 5) = m² - 4 m + 4 - 4*(3 m - 15 - m² + 5 m) =

   = m² - 4 m+ 4 - 32 m + 4 m² + 60 = 5 m² - 36 m + 64 > 0

Δm = 1296 - 4*5*64 = 1296 - 1280 = 16

√Δm = 4

[tex]m_1 = \frac{36 - 4}{10} = 3,2[/tex]                     [tex]m_2 = \frac{36 + 4}{10} = 4[/tex]

2° )       m ∈ ( - ∞ ;  3,2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )

-------------------------------------------------

[tex]x_ 1 * x_2 > 0[/tex]                      i                [tex]x_1 + x_ 2 < 0[/tex]

[tex]\frac{c}{a} = \frac{m - 5}{3 - m } > 0[/tex]                                    [tex]\frac{- b}{a} = \frac{2 - m}{3 - m} < 0[/tex]

( m - 5)*( 3 - m) > 0                           ( 2 - m )*( 3 - m) < 0

3° )      m ∈  ( 3 ; 5 )                                m ∈  (  2 ;  3 )

Z  1°,  2° i   3°    ⇒   Nie ma takiej liczby  m.

==============================================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

(3 - m)x² + (m - 2)x + m - 5 = 0

1' a≠0    (Aby równanie miało dwa rozwiązania musi być równaniem kwadratowym)

2' Δ>0   (aby równanie miało dwa różne rozwiązania)

3' x₁*x₂>0  (aby rozwiązania były tych samych znaków)

4' x₁+x₂<0 (aby rozwiązania tych samych znaków oba były ujemne)

Ad.1.

3-m≠0

m≠3

Ad.2.

Δ=(m-2)²-4*(3-m)*(m-5)=m²-4m+4-4(3m-15-m²+5m)=

        =m²-4m+4-12m+60+4m²-20m=5m²-36m+64

Δ>0  ⇒   5m²-36m+64>0

               [tex]\Delta_m[/tex]=1296-4*5*64=1296-1280=16,   √Δ=4

                  [tex]m_1=\frac{36-4}{2*5} =\frac{32}{10} =3,2[/tex]                 [tex]m_2=\frac{36+4}{2*5} =\frac{40}{10} =4[/tex]

              a>0 i  y>0 więc rozwiązaniem jest m∈(-∞; 3,2)∪(4, +∞)

Ad.3.

[tex]x_1*x_2 > 0\\x_1*x_2=\frac{c}{a}[/tex]    

                     ⇒

                          [tex]\frac{c}{a} > 0\\\frac{m-5}{3-m} > 0\\ (m-5)(3-m) > 0[/tex]

                           [tex]m_1=5[/tex]             [tex]m_2=3[/tex]

                         a<0 i y>0 więc rozwiązaniem jest m∈(3,5)

Ad.4.

[tex]x_1+x_2 < 0\\x_1+x_2=\frac{-b}{a}[/tex]

                        ⇒

                                [tex]\frac{-b}{a} < 0\\\frac{-m+2}{3-m} < 0\\ (-m+2)(3-m) < 0[/tex]

                           [tex]m_1=2[/tex]             [tex]m_2=3[/tex]

                         a>0 i y<0 więc rozwiązaniem jest m∈(2,3)

Rozwiązaniem zadania jest część wspólna wszystkich punktów, ale jak widać punkt 3' i 4' nie mają elementów wspólnych tak więc nie ma takich m które spełniały by warunki zadania.