Question

wyznacz rownanie prostej przechodzacej przez punkt 2 -2 i rowno odleglej od punktow a (3, 1) b(-4, 5)

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]k_1:y=-\frac{4}{7}x-\frac{6}{7}\qquad\qquad k_2:y=-2x+2[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]P(2,-2)\qquad A(3,1)\qquad B(-4,5)[/tex]

Szukamy prostej postaci:

[tex]k:y=ax+b[/tex]

Skoro prosta przechodzi przez punkt P, to podstawiając współrzędne tego punktu mamy:

[tex]-2=a*2+b\\\\-2=2a+b\\\\-b=2a+2\ |*(-1)\\\\b=-2a-2[/tex]

Zatem prosta ma postać:

[tex]k:y=ax-2a-2[/tex]

Odległość punktów A i B od prostej policzymy ze wzoru:

[tex]d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]

Najpierw jednak przekształćmy równanie prostej do postaci ogólnej.

[tex]k:y=ax-2a-2\\\\k:-ax+y+2a+2=0[/tex]

Policzmy odległości punktów A i B od prostej.

[tex]d(A,k)=\frac{|-a*3+1+2a+2|}{\sqrt{(-a)^2+1^2}}=\frac{|-a+3|}{\sqrt{a^2+1}}\\\\d(B,k)=\frac{|-a*(-4)+5+2a+2|}{\sqrt{(-a)^2+1^2}}=\frac{|6a+7|}{\sqrt{a^2+1}}[/tex]

Prosta jest równoodległa od punktów A i B, więc

[tex]d(A,k)=d(B,k)\\\\\frac{|-a+3|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{|6a+7|}{\sqrt{a^2+1}}\ |*\sqrt{a^2+1}\\\\|-a+3|=|6a+7|\\\\-a+3=6a+7\quad\vee\quad -a+3=-6a-7\\\\-7a=4\ |:(-7)\quad\vee\quad 5a=-10\ |:5\\\\a=-\frac{4}{7}\quad\vee\quad a=-2[/tex]

Doliczmy wyrazy wolne dla każdej wartości a.

[tex]\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{7}\\b=-2*\left(-\frac{4}{7}\right)-2\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}a=-2\\b=-2*\left(-2\right)-2\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{7}\\b=\frac{8}{7}-2\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}a=-2\\b=4-2\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{7}\\b=-\frac{6}{7}\end{array}\right.\quad\vee\quad\left\{\begin{array}{l}a=-2\\b=2\end{array}\right.[/tex]

Ostatecznie mamy dwie proste spełniające warunki zadania:

[tex]k_1:y=-\frac{4}{7}x-\frac{6}{7}\qquad\qquad k_2:y=-2x+2[/tex]