Question

Wyznacz równanie ogólne prostej k, która jest równoległa do prostej l: x – 2y + 3 = 0, a jej odległość
od punktu P( -1; 4) jest równa √20.

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby wyznaczyć równanie ogólne prostej k, która jest równoległa do prostej l i ma odległość √20 od punktu P(-1,4), możemy skorzystać z faktu, że odległość między punktem a prostą można wyznaczyć jako stosunek modułu wyrażenia po lewej stronie równania prostej do pierwiastka z sumy kwadratów jej współczynników.

Pierwszym krokiem jest zapisanie równania prostej l w postaci ogólnej:

x - 2y + 3 = 0

Teraz możemy wyznaczyć wektor kierunkowy prostej l. W tym celu wystarczy zauważyć, że równanie l można zapisać w postaci:

x = 2y - 3

Co oznacza, że wektor kierunkowy prostej l ma współrzędne (2,1).

Ponieważ prosta k jest równoległa do prostej l, to jej wektor kierunkowy musi mieć takie same współrzędne, czyli również (2,1).

Teraz możemy zapisać równanie prostej k w postaci:

y - y1 = k(x - x1)

gdzie (x1, y1) to współrzędne punktu P.

Podstawiając konkretne wartości, mamy:

y - 4 = k(x + 1)

Ponieważ prosta k jest równoległa do prostej l, to jej wektor kierunkowy ma postać (2,1), a zatem:

k = 1/2

Podstawiając wartość k do równania prostej k, otrzymujemy:

y - 4 = (1/2)(x + 1)

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy:

2y - x - 7 = 0

Zatem równanie ogólne szukanej prostej k to 2y - x - 7 = 0.