Question

Wyznacz postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo , że dla argumentu 3 osiąga najmniejszą wartość równą (-8), a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba 5.

Answer 1

Funkcja kwadratowa

osiąga najmniejszą (lub największą) wartość na wierzchołku.

Czyli:

• najmniejsza (największa) wartość funkcji kwadratowej to q
• funkcja przyjmuje ją dla argumentu p

Mając dane współrzędne wierzchołka:   W = (3, -8)

możemy zapisać funkcję w postaci kanonicznej:

                                        f(x) = a(x - 3)² - 8

Miejsce zerowe to x, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Skoro f(5) = 0, to:

                              0 = a(5 - 3)² - 8

                               0 = a·2² - 8

                               4a = 8

                                 a = 2

Zatem funkcja w postaci kanonicznej [tex](f(x)=a(x-p)^2+q)[/tex] to:  

                                                          f(x) = 2(x - 3)² - 8

Przekształcamy ją do postaci ogólnej (wykonując działania):

f(x) = 2(x - 3)² - 8

f(x) = 2(x² - 6x + 9) - 8

f(x) = 2x² - 12x + 18 - 8

[tex]\large\boxed{\bold{{f(x) = 2x^2 - 12x + 10}}}[/tex]

Aby zapisać funkcję w postaci iloczynowej potrzebujemy drugiego miejsca zerowego.

Wiemy, że współrzędna p wierzchołka paraboli funkcji kwadratowej jest średnią arytmetyczną jego miejsc zerowych:  [tex]p=\frac{x_1+x_2}2[/tex],

czyli:

          [tex]3=\frac{5+x_2}2\qquad/\cdot2\\\\6=5+x_2\\\\x_2=1[/tex]

Stąd postać iloczynowa  [tex]\big(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\big)[/tex] to:

[tex]\large\boxed{\bold{{f(x) = 2(x-5)(x-1)}}}[/tex]