Question

Wyznacz pole powierzchni płata S: z^2 = x^2 + y^2 ; 1 <= x^2+y^2 <=9 i z<=0

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]|S|=6\sqrt{2}\pi[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Równanie:

[tex]z^2=x^2+y^2[/tex]

opisuje stożek.

Zauważmy, że [tex]z \leq 0[/tex], więc:

[tex]f(x,y)=z=-\sqrt{x^2+y^2}[/tex]

Będziemy korzystać ze wzoru:

[tex]$|S|=\iint_D \sqrt{1+\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2} \ \text{d}x \text{d}y[/tex]

Obszar [tex]D[/tex] w tym przypadku jest rzutem płata na płaszczyznę [tex]OXY[/tex], a zatem  pierścieniem kołowym:

[tex]D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1 \leq x^2+y^2 \leq 9\}[/tex]

Pochodne cząstkowe:

[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} , \ \ \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]

Po podstawieniu do wzoru otrzymuje się następującą całkę:

[tex]$|S|=\iint_D \sqrt{1+\Big(-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2+\Big(-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2} \ \text{d}x \text{d}y=\sqrt{2}\iint_D \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

Z uwagi na obszar kołowy warto wprowadzić współrzędne biegunowe:

[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin\varphi\\J(r,\varphi)=r\end{array}\right[/tex]

gdzie:

[tex]$\left \{ {{1 \leq r \leq 3} \atop {0 \leq \varphi \leq 2\pi}} \right.[/tex]

W wyniku otrzymuje się całkę:

[tex]$|S|=\sqrt{2}\iint_D \ \text{d}x\text{d}y=\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{0}\Bigg(\int\limits^{3}_{1} \ \text{d}r\Bigg) \ \text{d}\varphi=3\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{0} \ \text{d}\varphi=6\sqrt{2}\pi[/tex]