Question

Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach 5, 9, 11

Answer 1

Kąty trójkąta mają miary około: 26,5°, 54° i 99,5°

Twierdzenie cosinusów

określa zależność między:

• bokiem trójkąta
• cosinusem kąta leżącego na przeciw tego boku
• i pozostałymi dwoma bokami

Opisuje je wzór:

                      [tex]\Large\text{$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$}[/tex]

gdzie [tex]\large\text{$a$}[/tex] jest bokiem leżącym naprzeciw kąta [tex]\large\text{$\alpha$}[/tex]

Jeśli przyjmiemy:
                           a = 5
                           b = 9
                           c = 11

to mamy:

dla boku a:

                 [tex]\large\text{$5^2=9^2+11^2-2\cdot 9\cdot 11\cos\alpha$} \\\\ \large\text{$25=81+121-198\cos\alpha$} \\\\ \large\text{$198\cos\alpha=177\qquad/:198$} \\\\ \large\text{$\cos\alpha\approx0,8939$}[/tex]

Z tablic funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

cosα  wynosi 0,8939, dla  α ≈ 26,5°

dla boku b:

                 [tex]\large\text{$9^2=5^2+11^2-2\cdot 5\cdot 11\cos\beta$} \\\\ \large\text{$81=25+121-110\cos\beta$} \\\\ \large\text{$110\cos\beta=65\qquad/:110$} \\\\ \large\text{$\cos\beta\approx0,5909$}[/tex]

Z tablic funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

cosβ  wynosi 0,5909, dla  β ≈ 54°

dla boku c:

                 [tex]\large\text{$11^2=5^2+9^2-2\cdot 5\cdot 9\cos\gamma$} \\\\ \large\text{$121=25+81-90\cos\gamma$} \\\\ \large\text{$90\cos\gamma=-15\qquad/:90$} \\\\ \large\text{$\cos\gamma\approx-0,1667$} \\\\ \large\text{$-\cos\gamma\approx0,1667$} \\\\ \large\text{$\cos(180^o-\gamma)\approx0,1667$}[/tex]

Z tablic funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

cos(180°-γ)  wynosi 0,1667, dla  180° - γ ≈ 80,5°, czyli γ ≈ 99,5°

Sprawdzenie:

26,5° + 99,5° + 54° = 126° + 54° = 180°

Uwagi dodatkowe:

1. Przy obliczaniu kąta γ skorzystaliśmy ze wzoru redukcyjnego: [tex]\large\text{$\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha$}[/tex]
2. Ze względu na przybliżone wartości kątów, otrzymanych z tablic w sprawdzeniu suma kątów może wyjść 181° albo 179°.