Question

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności funkcji: f(x) = x^3 + 2x^2 + x - 7

Answer 1

Odpowiedź:

Obliczenie pochodnej funkcji f'(x):

f'(x) = 3x^2 + 4x + 1

Znalezienie miejsc zerowych pochodnej:

3x^2 + 4x + 1 = 0

Miejscami zerowymi tej funkcji kwadratowej są x = -1/3 i x = -1.

Konstrukcja tabeli znaków dla pochodnej:

x < -1 -1 < x < -1/3 x > -1/3

f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0

Wnioski dotyczące monotoniczności funkcji:

Na podstawie tabeli znaków pochodnej można stwierdzić, że funkcja f(x) jest rosnąca na przedziałach (-∞, -1) oraz (-1/3, +∞), natomiast jest malejąca na przedziale (-1, -1/3).

Maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x):

a) Przedział (-∞, -1)

b) Przedział (-1/3, +∞)

Podsumowując, funkcja f(x) = x^3 + 2x^2 + x - 7 jest rosnąca na przedziałach (-∞, -1) oraz (-1/3, +∞), natomiast jest malejąca na przedziale (-1, -1/3).

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x^3 + 2x^2 + x - 7, należy zbadać jej pochodną i analizować jej zachowanie na różnych przedziałach. Przedziały monotoniczności funkcji są miejscami, gdzie funkcja jest stale rosnąca lub stale malejąca.