Question

Wyznacz liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m.
b) x⁴ + x² + m = 0

c) |x² + 2x - 8| = m.

19 bc

Answer 1

Odpowiedź:

Rozpatrujmy każde równanie osobno:

b) x⁴ + x² + m = 0

To równanie jest równaniem kwadratowym w x². Możemy użyć zmiennej pomocniczej y = x², aby przekształcić je na równanie kwadratowe:

y² + y + m = 0

Teraz możemy zastosować wzór kwadratowy dla y:

Δ = b² - 4ac = 1 - 4m

Jeśli Δ > 0, to istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste y, co oznacza, że istnieją cztery pierwiastki rzeczywiste x (2 dodatnie i 2 ujemne). Jeśli Δ = 0, to istnieje jeden pierwiastek rzeczywisty y, co oznacza, że istnieją dwa pierwiastki rzeczywiste x (oba są takie same). Jeśli Δ < 0, to nie ma pierwiastków rzeczywistych y ani x.

Podsumowując, liczba pierwiastków równania x⁴ + x² + m = 0 zależy od wartości parametru m:

Jeśli Δ > 0, to 4 pierwiastki rzeczywiste.

Jeśli Δ = 0, to 2 pierwiastki rzeczywiste.

Jeśli Δ < 0, to brak pierwiastków rzeczywistych.

c) |x² + 2x - 8| = m

Również rozpatrujmy to równanie osobno:

x² + 2x - 8 = m

To jest zwykłe równanie kwadratowe w x. Możemy je rozwiązać, a liczba rozwiązań zależy od wartości parametru m.

x² + 2x - 8 = -m

To również jest zwykłe równanie kwadratowe w x, i liczba rozwiązań zależy od wartości parametru m.

Teraz, dla każdego z tych dwóch równań, możemy znaleźć liczbę rozwiązań i dodać je razem, aby uzyskać ogólną liczbę rozwiązań równania |x² + 2x - 8| = m.

Liczba rozwiązań dla każdego z tych dwóch równań będzie zależała od wartości parametru m, ale w ogólności mogą występować 0, 1 lub 2 rozwiązania dla każdego z nich. Jednakże ogólna liczba rozwiązań równania |x² + 2x - 8| = m będzie zależała od tego, jak wiele rozwiązań jest w każdym z tych dwóch przypadków i od wartości parametru m. Nie można jednoznacznie określić liczby rozwiązań bez bardziej szczegółowych informacji na temat wartości parametru m.

Szczegółowe wyjaśnienie: