Question

Wyznacz kąt ostry α, dla którego spełniona jest równość

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\alpha=30^\circ}[/tex]

Funkcje trygonometryczne

Celem zadania jest znalezienie kąta ostego α dla którego spełniona jest poniższa rowność.

[tex]\dfrac43\cdot sin60^\circ-\dfrac{3tg(180^\circ-\alpha)}{2\sqrt3sin120^\circ}=tg60^\circ[/tex]

W pierwszej kolejności, skorzystamy z poniższych wzorów redukcyjnych kątów rozwartych:

[tex]tg(180^\circ-\alpha)=\bold{-tg\alpha}[/tex]

[tex]sin(90^\circ+\alpha)=\bold{cos\alpha}[/tex]

Przekształcamy zapis równania z pomocą tych wzorów:

[tex]\dfrac43\cdot sin60^\circ-\dfrac{3tg(180^\circ-\alpha)}{2\sqrt3sin(90^\circ+30^\circ)}=tg60^\circ\\\\\\\dfrac43sin60^\circ-\dfrac{3\cdot (-tg\alpha)}{2\sqrt3\cdot cos30^\circ}=tg60^\circ\\\\\\\dfrac43sin60^\circ-\dfrac{-3tg\alpha}{2\sqrt3cos30^\circ}=tg60^\circ\\\\\\\dfrac43sin60^\circ+\dfrac{3tg\alpha}{2\sqrt3cos30^\circ}=tg60^\circ[/tex]

W następnym kroku, potrzebować będziemy Tabeli Wartości Funkcji Trygonometrycznych kątów ostrych:

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5}&&&&\\\alpha&sin\alpha&cos\alpha&tg\alpha&ctg\alpha\\&&&&\\\cline{1-5}&&&&\\30^\circ&\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac{\sqrt3}3&\sqrt3\\&&&&\\\cline{1-5}&&&&\\45^\circ&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac{\sqrt2}2&1&1\\&&&&\\\cline{1-5}&&&&\\60^\circ&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac12&\sqrt3&\dfrac{\sqrt3}3\\&&&&\\\cline{1-5}\end{array}[/tex]

Wartości kątów z przekształconego równania odczytujemy z tabeli:

[tex]sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\\\\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\\\\tg60^\circ=\sqrt3[/tex]

Odczytane wartości wpisujemy do wzoru w miejsce tych funkcji:

[tex]\dfrac43\cdot\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{3tg\alpha}{2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2}=\sqrt3[/tex]

Upraszczamy wyrażenie:

[tex]\dfrac{4\!\!\!\!\diagup^2}3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}+\dfrac{3tg\alpha}{2\!\!\!\!\diagup^1\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}}=\sqrt3\\\\\dfrac{2\sqrt3}3+\dfrac{3tg\alpha}{3}=\sqrt3\\\\\dfrac{2\sqrt3+3tg\alpha}3=\sqrt3\:\:|\cdot 3\\\\2\sqrt3+3tg\alpha=3\sqrt3 \:\:|-2\sqrt3\\\\3tg\alpha=\sqrt3 |:3\\\\\bold{tg\alpha=\dfrac{\sqrt3}3}[/tex]

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, dla jakiej wartości kąta α funkcja tangens przyjmuje obliczoną wartość:

[tex]\boxed{\underline{\underline{\alpha=30^\circ}}}[/tex]