Question

Wyznacz iloraz i pierwszy wyraz ciagu geometrycznego (an) oraz określ Monotonicznosc togo ciągu, jeśli: (w załączniku)

Answer 1

Ciąg geometryczny

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu geometrycznego

[tex]a_{n} = a_1\cdot q^{n-1}[/tex]

[tex]a_6 - a_3 = 14\\\frac{a_5}{a_2} = 8\\\\a_1\cdot q^{5} - a_1\cdot q^{2} = 14\\\\\frac{a_1\cdot q^{4}}{a_1\cdot q} = 8\\\\q^{3} = 8\\\\q^{3} = 2^{3}\\\\\boxed{q=2} \ - \ iloraz \ ciagu \ geometrycznego[/tex]

[tex]a_1\cdot q^{5} - a_1\cdot q^{2} = 14\\\\a_1\cdot 2^{5}-a_1\cdot2^{2} = 14\\\\32a_1 - 4a_1 = 14\\\\28a_1 = 14 \ \ \ /:28\\\\\boxed{a_1 = \frac{1}{2}} \ - \ pierwszy \ wyraz \ ciagu \ geometrycznego[/tex]

Monotoniczność ciągu geometrycznego (aₙ) zależy od pierwszego wyrazu a₁ oraz ilorazu q:

Jeżeli a₁ > 0 i q > 0, to ciąg jest rosnący

[tex]a_1 = \frac{1}{2} > 0 \ \ i \ \ q=2 > 0[/tex]

Zatem ciąg jest rosnący.