Question

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji, daje naj

Answer 1

[tex]f(x,y)=x^2+xy^3+3y^2[/tex]

Zacznę od warunku koniecznego istnienia ekstremum, czyli zerowania się pochodnych cząstkowych

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^3=0\ \Rightarrow x=-\frac{1}{2}y^3\\\frac{\partial f}{\partial y}=3xy^2+6y=0\\-\frac{3}{2}y^5+6y=0\\-y(y^4-4)=0\\y(y^2-2)(y^2+2)=0\\y(y-\sqrt2)(y+\sqrt2)(y^2+2)=0\\y_1=0\\y_2=-\sqrt{2}\\y_3=\sqrt2[/tex]

Mamy zatem aż trzy wartości y (pominąłem rozwiązania zespolone), którym odpowiadają następujące x

[tex]x_1=-\frac{1}{2}\cdot 0=0\\x_2=-\frac{1}{2}(-\sqrt2)^3=\sqrt2\\x_3=-\frac{1}{2}(\sqrt2)^3=-\sqrt2[/tex]

Teraz należy sprawdzić, czy faktycznie w wyznaczonych punktach mamy ekstrema i ewentualnie jakie. W tym celu liczą drugie pochodne i konstruuję z nich hesjan

[tex]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2\\\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=3y^2\\\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6xy+6[/tex]

W punkcie

[tex](x_1,y_1)=(0,0)\\H(x_1,y_1)=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&6\end{array}\right][/tex]

Macierz jest dodatnio określona, gdyż jej minory to odpowiednio 2 oraz 12. Oznacza to, że w rozważanym punkcie mamy minimum

W punkcie

[tex](x_2,y_2)=(\sqrt2,-\sqrt2)\\H(x_1,y_1)=\left[\begin{array}{cc}2&6\\6&-6\end{array}\right][/tex]

Ta macierz jest nieokreślona; pierwszy minor to 2 drugi zaś to -12-36=-48.

W tym punkcie nie ma ekstremum

Podobnie w puncie:

[tex](x_3,y_3)=(-\sqrt2,\sqrt2)\\H(x_3,y_3)=\left[\begin{array}{cc}2&6\\6&-6\end{array}\right][/tex]

Pierwszy minor jest dodatni (2) drugie zaś ujemny (-48) więc w w tym punkcie nie ma ekstremum.

Oczywiście zastosowałem powyżej twierdzenie Sylvestera dla określanie, czy hesjan jest określony dodatnio, czy ujemnie.

pozdrawiam